冪

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標籤： e math real-analysis calculus limits

大量抄襲參考 Wikipedia，這下成搬運工了。

作爲對與導的補充。

葉總說這一步不對：

ex=lim⁡n→∞(1+1n)nx=lim⁡n→∞∑i=0nx(nxi)1ni=lim⁡n→∞∑i=0nxxii!=∑i=0∞xii!\def\x{\textcolor{red}{x}} \begin{aligned} \e^{\x} &= \lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac1n\right)^{n\x} \\ &= \lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^{n\x} \binom{n\x}{i} \frac{1}{n^i} \\ &= \lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^{n\x} \frac{\x^{i}}{i!} \\ &= \boxed{\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\x^i}{i!}} \\ \end{aligned}

因爲 nxnx 並不是整數，直接展開相當於用到了廣義二項式定理，就有循環論證的嫌疑了。

仔細想來，高中似乎並沒有講怎麼處理實數冪次，甚至連明確的定義都沒有。空中樓閣，怎麼都不可能證出來的。

所以我們要從冪的定義開始研究起。

但是我不會實分析。

Z Q

首先，當指數 nn 是整數的時候：

bn=b×b×b⋯×b⏟n 個 bb^n = \underbrace{b \times b \times b \cdots \times b}_{\text{$n$ 個 $b$}}

完全可以理解。我們還有指數的乘法規則：

bn×bm=b×⋯×b⏟n 個 b×b×⋯×b⏟m 個 b=b×⋯×b⏟(n+m) 個 b=bn+m\def\n{\textcolor{red}{n}} \def\m{\textcolor{blue}{m}} \begin{aligned} b^{\n} \times b^{\m} &= \underbrace{b \times \cdots \times b}_{\text{$\n$ 個 $b$}} \times \underbrace{b \times \cdots \times b}_{\text{$\m$ 個 $b$}} \\ &= \underbrace{b \times \cdots \times b}_{\text{$(\n + \m)$ 個 $b$}} \\ &= b^{\n + \m} \end{aligned}

當 b≠0b \ne 0 時，由於 b0×bn=b0+n=bnb^0 \times b^n = b^{0+n} = b^n，所以 b0=1b^0 = 1。

也容易得到 (bn)m=bnm\left(b^n\right)^m = b^{nm}。

定義 b1n=bnb^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{b} 爲唯一的非負實數 yy 滿足 yn=by^{n} = b。

然後由 (bn)m=bnm\left(b^n\right)^m = b^{nm}，整個有理數上的定義就很容易了。

R

這確實是一個巨大的飛躍。一個簡單的想法是，定義：

bx=lim⁡r(∈Q)→xbr\boxed{ b^{x} = \lim_{r(\in \mathbb{Q}) \to x} b^{r} }

看着就特別對😊️。

題外話，在做題的時候經常會遇到這種抽象函數問題 f(x+y)=f(x)f(y)f(x+y) = f(x)f(y)。如果我們設 f(1)=af(1) = a，那麼可以得到在 n∈Zn \in \mathbb{Z} 時候，f(n)=anf(n) = a^n，然後就能容易得到 r∈Qr \in \mathbb{Q} 的時候 f(r)=arf(r) = a^r。

但是對於 x∈R∖Qx \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}，f(x)=arf(x) = a^r 卻不一定，除非有 f(x)f(x) 連續的條件。

好消息是還有其他定義方法。

我們定義 exp⁡(x)\exp(x) 爲：

exp⁡(x)=lim⁡n→∞(1+xn)n\boxed{ \def\x{\textcolor{red}{x}} \exp(\x) = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{\x}{n}\right)^{n} }

可以知道 exp⁡(0)=1\exp(0) = 1，exp⁡(1)=e\exp(1) = \e。

這裏指數上的 nn 可以理解爲數列極限，當成整數，可以放心用二項式定理展😋️。

exp⁡(x)=∑i=0∞xii\boxed{ \def\x{\textcolor{red}{x}} \exp(\x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\x^i}{i} }

exp⁡(x)\exp(x) 滿足上面說的指數乘法規則：

exp⁡(x)exp⁡(y)=lim⁡n→∞(1+xn)n(1+yn)n=lim⁡n→∞(1+xn+yn+xyn2)n\def\x{\textcolor{red}{x}} \def\y{\textcolor{blue}{y}} \begin{aligned} \exp(\x)\exp(\y) &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{\x}{n}\right)^n \left(1 + \frac{\y}{n}\right)^n \\ &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{\x}{n} + \frac{\y}{n} + \frac{\x\y}{n^2}\right)^n \\ \end{aligned}

xyn2\frac{xy}{n^2} 高階無窮小，忽略掉：

exp⁡(x)exp⁡(y)=lim⁡n→∞(1+x+yn)n=exp⁡(x+y)\def\x{\textcolor{red}{x}} \def\y{\textcolor{blue}{y}} \boxed{ \begin{aligned} \exp(\x)\exp(\y) &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{\x + \y}{n}\right)^n \\ &= \exp(\x + \y) \\ \end{aligned} }

然後很容易就得到在 x∈Qx \in \mathbb{Q} 的時候，exp⁡(x)=ex\exp(x) = \e^x。

因爲：

lim⁡x→0exp⁡(x)=1+x1+x22+⋯=1\lim_{x \to 0} \exp(x) = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2} + \cdots = 1

所以對於一個 x∈R∖Qx \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}：

exp⁡(x)=lim⁡r(∈Q)→xexp⁡(r)exp⁡(r−x)=lim⁡r(∈Q)→xexp⁡(r)\begin{aligned} \exp(x) &= \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} \exp(r) \exp(r-x) \\ &= \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} \exp(r) \\ \end{aligned}

符合上面那個定義，所以我們可以認爲在 R\mathbb R 裏頭，exp⁡(x)\exp(x) 就是我們想要的 ex\e^x。

然後就是已經在導中已經闡述的，定義 ln⁡x\ln x 爲 exp⁡(x)\exp(x) 的反函數，最終就能定義：

bx=exp⁡(xln⁡b)=exln⁡b\boxed{ b^x = \exp(x\ln b) = \e^{x\ln b} }

C

ex\e^x 自然能擴展到 C\mathbb C 上面。根據歐拉公式：

eix=cos⁡x+isin⁡xe^{\i x} = \cos x + \i \sin x

所以可以容易得到：

bx+iy=bx[cos⁡(yln⁡b)+isin⁡(yln⁡b)]\boxed{ b^{x + \i y} = b^x[\cos(y\ln b) + \i \sin(y\ln b)] }

還可以算對數：

ln⁡z=ln⁡r+i(θ+2kπ)(k∈Z)\boxed{ \ln z = \ln r + \i (\theta + 2k\pi)\quad (k \in \mathbb Z) }

其中 rr 是 zz 的模長，θ\theta 是 zz 的幅角。

底數是 C\mathbb C 的怎麼辦呢？

za+bi=e(a+bi)ln⁡z=e(a+bi)[ln⁡∣z∣+i(θ+2kπ)]=ealn⁡r−bθ−2bkπ+i(bln⁡r+aθ+2akπ)=rae−2bkπ−bθ[cos⁡(bln⁡r+aθ+2akπ)+isin⁡(bln⁡r+aθ+2akπ)]\begin{aligned} z^{a+b\i} &= \e^{(a+b\i) \ln z} \\ &= \e^{(a+b\i)[\ln |z| + i(\theta + 2k\pi )]} \\ &= \e^{a\ln r - b\theta - 2bk\pi + \i(b\ln r + a\theta + 2ak\pi)} \\ &= r^a \e^{-2bk\pi - b\theta} [\cos(b\ln r + a\theta + 2ak\pi) + \i \sin(b\ln r + a\theta + 2ak\pi)] \\ \end{aligned}

太噁心了🤮，什麼都有多解。不好玩。