EarthMessenger 博客

我想去人大

Mon, 22 Jun 2026 00:00:00 GMT

人大是中國人民大學，當然如果我能當全國人大代表也很好。

一

我居然過了人大強基初試。挺幸運的。感覺好多數學物理都不會，最後還是以高於分數線 15 分的成績過了（滿分 360）。

總之我要去北京了。

二

上次去北京，應該是小學五年級。當時大多數旅途經歷已經模糊了，升旗、爬長城、北京烤鴨、參觀清北，這就是標準北京旅遊套餐。

看天安門升旗，那時正是八一建軍節，早上四點鐘不到就起牀，到了廣場，早已是人頭攢動。其實也看不到什麼，小學的我個子不高，人又太多，好像聽到國歌聲，盡力看看，國旗就已經到頂了。最深刻的反而是看到圍欄內部，就在旗杆旁邊，有小學生排成方隊，能直接近距離看升旗。所以北京小學生的尊貴一下子就凸顯出來了。

聽說現在參觀天安門需要預約了。偌大一個廣場，居然得全部圍欄封起，要安檢，要預約，顯得有點過分莊重了。

確實，天安門太厚重了，北京太厚重了。這是元明清三代的京城，現代的首都，這裏集中了中國最高的政治權力。到處皇家色彩的紅牆，還有灰色的衚衕青磚，天有時藍得透徹，有時晦暗昏沉。天安門更是把這種厚重具象化了。更何況，你知道，天安門廣場上，有五四運動，一二·九運動，有開國大典，有閱兵……四十四萬平方米的廣場，從來都是擠滿了人的，歷史的人，現在的人。

北京風很大，沒有樹蔭的地方太陽很曬，就是典型的北方氣候。也許住慣了，我還是更喜歡成都，天府之國。但北京能下雪，不得不令我向往。

三

按照考生須知，考生不得透露任何關於初試的相關內容，但複試好像沒有這個規定。

排隊的時候遇到了個四川文科考生，開玩笑問我物理能不能有他歷史高。然後進候考區，先是看到一個拿着《算法競賽進階指南》的考生，應該是 OIer，于是坐到他旁邊套近乎。然後發現旁邊又有兩個四川 OIer，嘉祥的，應該在省選還是 WC 見過。這次人大強基 OIer 好像有點多。

聽他們說，去年考題有“證明任意一個競賽圖都有哈密頓通路”，這可把我嚇到了。我早都不記得哈密頓通路是什麼意思了，他們也不知道，于是只能相信今年題目不可能和去年重了。

然後莫名其妙又聊到排序，突然就聊到了有沒有優於 $O(n\log n)$ 基於比較的排序。我很自豪地給我旁邊那個拿藍書的同學講解，如何用信息論分析基於比較排序的複雜度下界：

每次比較，可得到小於和不小於兩種結果。進行 $m$ 次比較操作，總共就能得到 $2^m$ 種比較結果。而長度爲 $n$ 的排列共有 $n!$ 種。

所以要通過比較把不同排列區分出來並得到正確的排序方式， $2^m \ge n!$，所以 $m = O(\log(n!))$，根據斯特林近似，那 $m = O(n\log n)$。

面試抽籤，我們這一坨抽到了連續的前四個號。只有一個同學號比較靠後，他既沒帶水又沒帶書，挺煎熬。

到我面試了，有點緊張。

先是第一個房間。一道數學和一道信息題。果斷選擇信息。

一個有向圖，可以選一條邊讓他的權重 $w = f(w)$，問 $s$ 到 $t$ 的最短路。

$f(x) = \lfloor x / 2\rfloor$

$f(x) = x - C$（$f(x)$ 可能小於 $0$）

第一問我說建分層圖，然後 Dijkstra 跑最短路。

而後第二問，我糊塗了。我知道 Dijkstra 不能處理負權圖，但我忘了該用什麼算法了，于是我說，用 Johnson 算法。這當然是錯的，Johnson 是先在 Bellman-Ford 跑了一次單源最短路之後，跑全源最短路用的。而且我已經不記得 Johnson 和 Bellman-Ford 具體怎麼做了。

沉默一下後，我又說，對於任意一條最短路，這個 f(x) 的貢獻是一樣的，所以直接跑單源最短路再在答案上減 C 就行了。這當然也是錯的，我完全忘記了要考慮負環。

後來教授又問我，問一能不能不建分層圖，我說可以 Dijkstra 的同時維護每個節點最短路徑最大邊權，然後在最大邊權上除以二。這個應該是對的。

然後第二個房間。一道數學，一道題幹有點長的物理，和一道信息。

randN() 是一個生成 [1, N] 的均勻隨機整數的函數。可以調用 rand5()，要生成 rand7()。

怎麼做？

這個做法，調用 $n$ 次期望會用幾次 rand5()？如果 $n$ 足夠大，最少需要幾次 rand5()？

我從第一問開始蠢。先 rand5() 對 5 拒絕採樣，得到 rand4()，兩個 rand4() 拼起來，去掉一位，得到 rand8()，再對 8 拒絕採樣，得到 rand7()。需要調用次數： $\left( \frac{5}{4} \times 2 \right) \times \frac{8}{7} = \frac{20}{7}$。

然後對於 $n$ 足夠大，教授質問我有沒有懂這是什麼意思？我很含糊地說，兩個 rand4() 拼起來的時候，可以把去掉的一位留給下一次使用。我確實沒體會到 $n$ 足夠大的含義。

然後出考場，我悟了。用信息論分析，rand5() 提供 $\log 5$ 的熵，生成 rand7() 需要$\log 7$ 的熵，所以 $n$ 足夠大的時候理論下界是 $\frac{\log 7}{\log 5}$。

好吧，我輸了。我被我考前自豪地給同學分享的信息論打敗了。我不知道那個同學有沒有做起這個題。

面試全面失敗。

體測的時候，吹肺活量，第一次吹的時候吹 1100mL 多時機器突然停了，第二次吹纔吹正常。立定跳遠，每次我都跳 2.5m 多，結果那個機器前兩次讀數都給我讀成 2.2m 左右。好在是取最大值。

四

結束了。接下來兩個月再沒有什麼重大考試了。沒有了。沒有了。只等開盲盒了。

北京旅遊，其實也不知道旅什麼遊。總之媽媽帶我去雍和宮，便去了。反正香火鼎盛，便是全中國最靈驗的地方。

點三支香，跪在拜墊上，閉眼。

「我是郝**，身份證號*****************7，我鄭重在此跪拜，是我想許幾個願望。」

許什麼願望呢？高考能上 660，能過人大強基，這是我目前最迫切的願望。具體一點，想排名能四川省前 1000？

「排名」這個詞，很有毒性。「比較靠前」看似委婉，實際上卻是血淋淋地踩在別人頭頂的感覺。這是不是有些貪婪了？有些惡毒了？慈眉善目的菩薩，怎能容下這種卑鄙的願望？

于是我又往回縮，願望不應該太自私。衆生皆苦，能不能讓中國政治開明一點，更開放包容，更公正法治，更好社會保障……

在我之前，對國家許願的人也很多……結果是沒有結果。有些東西，神仙也無能爲力，正所謂：「從來就沒有什麼救世主，也不靠神仙皇帝！」但佛教的解法不同，佛教徒從內心熄滅煩惱。那你能割捨世俗，落髮出家嗎？難啊，所以苦是生命的底色。

風吹過香爐，煙霧舞動，神仙能看見人間的願望嗎？

五

來北京旅遊，有些不知道該幹什麼。主要原因是之前來過了。而且北京確實也沒啥喫的，餐館一連串都是北京烤鴨，銅鍋涮肉。也可能是因爲我旅遊旅少了，缺少發現城市樂趣的眼睛。

但當我發現沿着雍和宮向北，就是地壇的時候，我還是有些詫異的。

地壇，相比天壇，都是古代帝王祈求國泰民安的場所，但要低調很多。更低調的還有日壇、月壇、先農壇。我知道地壇，還是從史鐵生文章《我與地壇》中瞭解的。

正門，一副大字：「地壇公園」。地壇早就不是「廢棄的古園」了，已經是百姓日常來往的公園。院內老人居多，還有很多旅客和小朋友。甚至還有一個挺大的球場，老人們打着一種我叫不上名來的球，問 Gemini 纔知道是槌球。還有人踢毽子，拉單槓，拉二胡，吹笛子，喂鴿子。確實是一派祥和景象。

地壇公園的樹和草地，都是可以認養的。高德地圖上特別標出了：「史鐵生和余華認養的樹」，不知道這是不是本人親自認養的（畢竟史鐵生 2010 年就去世了），但確實有些意思。我突然覺得，旅遊就該這樣，跟着一個人，一篇文章，一本書，探索一個地方。

晚上也不知道喫什麼，于是去喫肯德基。肯德基麥當勞這類快餐店在北京挺多的，可見北京美食確實有些缺乏。

第二天上午，不知道該去哪裏，隨意翻地圖，還是打算去中國美術館，這名字太霸氣了，中國這個詞，不是北京駕馭不了。淡淡地，隨意漫步，一上午就耗過去了。然後便回家了。

高考遊記

Wed, 10 Jun 2026 00:00:00 GMT

OIer 心態很好。凡是參加的大型比賽考試都能寫「遊記」，其他競賽就很少有這種文化。倘能把聯賽、省選、甚至國賽都當成普通旅途，那高考爲何不可呢？可這需要一點玩世不恭，超然物外的豁達勇氣。

一

一號自習；二三號最後一次模考；四號講評；五號散伙飯。

有點感冒，這是我最擔心的。有些許症狀：喉嚨癢、頭昏、胸悶。我不禁想到魯大師，他在國賽 Day 1.5 突然發燒，也許命運就是這樣反覆無常，我只能竊喜我情況比他好點。

高三的書搬回家，有點驚訝怎麼有這麼多浪費的資料。包括但遠不限於：只做了不到十頁的化學高考藍皮書（距高考還有一個多月纔發的資料），沒有動過的數學、物理、化學二輪資料（確實沒用），九九新的天星金考卷（四十五套刷完就敢去高考）。

當然還有更多沒有完成的計劃。我們四月寫了一個計劃，五月又寫了一個計劃——爲了應付差事我還對 D 老師問了好久——總之全部沒有執行。很久以前，張華似乎還提出高三做完物理步步高大本小本，三年高考題，加練半小時，最好還有強基一本通，可我最後只把大本做完了。

我還是喜歡自由主義，沒必要整這麼多計劃，正如哈耶克所說的，「理性的自負」。

這麼多的書，塞滿了一個手推車。我還是缺少斷捨離的勇氣，儘管好多書不會再看了。

悵然，如果學生高考後生物化學這些都忘完了，那教育的意義何在？

二

六號看考場，住二十中旁邊酒店。通知是 15:28 發准考證，16:20 試聽，我想 15:45 出發已經足夠早了。結果先是沒找到正門，繞着二十中逆時針走了一圈，纔發現就在第一個路口左手邊。

家長不在，我背的包，以及其中手機，只能交給張華代管。過安檢的時候只有我一個人，倉皇進考場，連看一眼廁所都忘了。張華叮囑大家應該靜坐二十分鐘，想一想未來三天會發生的事，可我就乾坐着，也不知道該想什麼。

考場提供了足量的紙巾，這讓我很放心，我前頭一直有點擔心感冒流鼻涕。最後問監考老師能不能換個桌子，感覺腿放不下，監考老師也挺熱心的。

最後疏散演練，大家集合到操場，然後就出考場了。這時正是 16:20 左右。

三

難眠。一是有些咳嗽，二是感覺冷熱不舒服——一個姿勢躺久了就容易熱，然後翻身；試圖不蓋被子，但空調有有點冷。雖然睏，但是睡不着。拼命想要睡卻睡不着，一直持續到好晚。明天考語文數學，最重要的兩科。

起牀，喫早飯，然後就是語文了。

昨天看了幾乎整天的語文，看作文和默寫，外加一道圓錐曲線和一道現代文一。可有什麼用呢？

大概提前半個小時到了考場坐着。有點牢，乾坐着。很緊張，能感到心跳很強烈。我竟感覺不到睏，也許腎上腺素發力了。

拿到卷子，先掃看一眼。現代文二第九題居然是選擇，默寫都會背，但突然不會寫「缠」了，好在後面做完現代文一之後會寫了。

這是我高三做語文前面做最快的一次了，居然九十分鐘不到就做完了，可能是文言古詩比較簡單的緣故。但作文寫的好像有點拉胯，儘管有這麼多時間，好像也沒有多出彩，朱老師整理的那麼多名言也沒用上。

下午數學，實在災難。

我卡在第 17 題了。最後做法是利用第一問求得 $\sin A\sin C$ 和 $\cos A\cos C$，得到 $\sin^2 A + \sin^2 C$ 與 $\sin^2 A\sin^2 C$，然後從韋達構造二次方程解出 $\sin A$ 和 $\sin C$，需要解一個係數兩百多的二次方程。我不知道我考場怎麼這麼唐，有韋達了哪怕先算 $\frac{\sin A}{\sin C} + \frac{\sin C}{\sin A}$ 都好點啊。

18，19 就太倉促了。18 解完軌跡，問 $t$ 取何值有對稱中心，感覺 $Ax^2 + By^2 + Cx + D = 0$ 這種不該都有對稱中心嗎，怎麼會問「值」呢？同時我也不知道怎麼証明一個曲線有對稱中心，到頭來寫了兩行莫名其妙的東西，沒分。

19 題第三問，我看這個函數不是凸的嗎（實際不是），那按照琴生這個 $f(k+x) + f(k-x) > 2f(k)$ 應該恆成立纔對啊。于是也不知道寫什麼過程了。

好像都不算難，我怎麼做這麼唐。

歷史有時就是這麼脆弱。倘當年荊軻刺秦王成功了，倘當年鴻門宴劉邦沒有逃掉，倘當年岳飛不被莫須有冤殺。我恍然感覺命運就在這薄紙之中，一念之間，可你又無法改變，考場沒做出來是事實，「主觀能動性」是那麼的無力……

四

物理，有點難。第三題考縱波，這誰想得到，只能憑感覺選。第十題，我憑生活經驗感覺手掌給球殼的力好像不只是法向的？總之考察建模能力，思考了半天後，又感覺應該法向比較好。實驗題最後一空，算出來，需要讀數的圖上的點，不在格點上。十五題巨大計算，列了一大堆方程之後考試結束了。

英語還好。開考前數作文行數，小作文居然只有 9.5 行，平時成外一般 13 行來着，大作文每段 9 行。聽聽力的時候感覺教室有點回聲，同時有人（包括我）在咳嗽。小作文給了第一句話之後，不知道要不要寫「I'm writing to ...」，最終沒寫。

化學應該比去年簡單，至少我做完了。出人意料的是生物，選擇題一堆不確定的，生態感覺不好，那個從種間關係的角度分析紅杉幼苗爲什麼死的多不會，遺傳沒做出來，不過相信賦分。

五

于是結束了。

走出二十中後門，家長聚在門口，堵個水泄不通，好多拍照的、舉花的、揮手的。我莫名想起了《哦，香雪》，正是高中語文第一單元的小說。

次日還有口語。先在準備室看一篇英文文章，有四個原文中有答案的問題和一個稍開放的問題。結果正式考的時候我特別緊張，語速很快，原來該說三分鐘的 topic 說了感覺不到一分鐘。不過不算分，就這樣吧。

真的結束了。

六

高考期间还是应该稍刷手机。比如我在高考期间看到「中国灵活就业人数今年料达3.2亿（联合早报）」、「为什么今年高考全网静悄悄？（知乎）」、「考不上，4 天后送外卖/考上的，4 年后送外卖（青年之声，懶得找）」、「独木桥上少了几十万匹马（星球商业评论）」、「中产的你，值不值得再卷高考。（海边的西塞罗）」「不要让大学耽误了孩子（历史押韵，找不到了）」……

考完後，想想未來的路。首先是數學確實考不盡人意，其他學科也估不了分。人大強基和南科大撞了，得二選一。暖心的是，考完之後，居然有人大學長 Cocoly1990 主動加我 QQ，太感動了。

未來怎麼走，四年後甚至更久以後，沒有人知道。我覺得，就現在情況來看，教育是和就業息息相關的，很少有人是純粹喜歡學習而上大學的。

AI 好像增加了一些就業崗位，又好像替代了一些。371 萬人考公，2000 萬外賣騎手，一千多萬畢業生。

全國二卷說「君不見多少青衿種菊修籬避象塔一隅」，是這樣，君不見上次學生運動還是上次。

寒冬。學生就坐在教室，能怎麼辦呢？能怎麼辦呢？埋頭種菊修籬罷了。

六

查分：116+139+138+83+94+95=665，省排 650，很滿意了😄️。

數學 139 這個完全超出預料。正如前文所說，18(3), 19(3) 都沒做出來，祖墳要冒青煙了。

有電容有外力單杆

Sat, 07 Mar 2026 00:00:00 GMT

典

經典的有電容有外力單杆：

PS：圖是 Gemini 畫的，直接輸出 Typst 代碼。感覺加訓 pelican riding a bicycle 有效果。

很容易列出幾個方程：

$$ \begin{gather*} Ft - ILBt = mv - 0 \ It = q \ E = vBL \ C = \frac{q}{U} \ I = \frac{E - U}{R} \ \end{gather*} $$

我去，這怎麼做。

還好，高中只會考 $R = 0$ 的情況。由於電阻是 $0$，所以能瞬間達到穩態。于是可以認爲 $E = U$。

但是 $I = \frac{E - U}{R}$ 是什麼？這下子成 $0/0$ 未定式了。先不管它。

那：

$$ It = q = CU = CvBL $$

于是：

$$ \begin{gather*} Ft - CvB^2L^2 = mv \ v = \frac{Ft}{m + CB^2L^2} \ \end{gather*} $$

好吧，求出速度了。然後其它的都可以求了，比如 $I = \dot{q} = CaBL = \frac{FCBL}{m + CB^2L^2}$。

幹

可是某同學不太能理解電阻爲 $0$，憑什麼就瞬間穩態，所以他想出來可以先求解電阻 $R$ 不爲 $0$ 的情況，再分析 $R \to 0$ 的極限。

先消元，把 $v$ 用 $q$ 表示：

$$ \begin{align*} I = \dot q &= \frac{vBL - \frac{q}{C}}{R} \ v &= \frac{\dot q R + \frac{q}{C}}{BL} \ \end{align*} $$

帶回動量守恆：

$$ \begin{align*} Ft - qLB &= mv \ Ft - qLB &= m \frac{\dot q R + \frac{q}{C}}{BL} \ \frac{mR}{LB} \dot q + \left( \frac{m}{LBC} + LB \right)q - Ft &= 0 \ \end{align*} $$

只用把 $q$ 解出來就行了。

解

姜萍會偏微分方程，而這是一個簡單的一階常係數不齊次微分方程。

爲了讓式子不要太亂，我們其實就相當於解：

$$ A \dot q + B q = F t $$

某同學于是找物理競賽同學借了一本《高等數學》，仔細研讀了一節晚自習。

衆所周知，解不齊次微分方程只需要用一個特解疊加上齊次方程的通解。

先來看通解，這個在導中有介紹。即先把 $Ft$ 當成 $0$：

$$ A \dot q + B q = 0 $$

解得 $q_h(t) = C_0\e^{-\frac{B}{A}t}$

然後只需要找一個特解，我們使用待定係數法，因爲 $Ft$ 關於 $t$ 是一次的，所以應該假設 $q_p(t) = b_0 t + b_1$。帶入：

$$ \begin{align*} A b_0 + B (b_0 t + b_1) &= F t \ (B b_0 - F) t + A b_0 + B b_1 &= 0 \ \end{align*} $$

故解得：

$$ \begin{cases} b_0 = \frac{F}{B} \ b_1 = -\frac{AF}{B^2} \ \end{cases} $$

即特解：$q_p(t) = \frac{F}{B} t - \frac{AF}{B^2}$。

然後疊加。

$$ \begin{align*} q(t) &= q_p(t) + q_h(t) \ &= \frac{F}{B}t - \frac{AF}{B^2} + C_0 \e^{-\frac{B}{A}t}\ \end{align*} $$

要滿足初始條件 $q(0) = 0$：

$$ q(0) = - \frac{AF}{B^2} + C_0 = 0 $$

故 $C_0 = \frac{AF}{B^2}$。

最後帶回來，這裏 $A = \frac{mR}{LB}, B = \frac{m}{LBC} + LB$：

$$ q = \frac{F}{\frac{m}{LBC} + LB} t + \frac{\frac{mR}{LB} F}{\left( \frac{m}{LBC} + LB \right)^2}\left( \e^{-\frac{\frac{m}{LBC} + LB}{\frac{mR}{LB}} t} - 1 \right) $$

停停停。我們雖然是解出來了，但是這個有點太醜了。不過可以看出，當 $R=0$ 時，後面項就是 $0$，于是 $q = \frac{FLB}{m + L^2B^2C}t$ 很合理，也和上面推出來的吻合。

等

其實電容和杆子是有驚人的相似性的。

再看一眼動量守恆的式子：

$$ Ft - ILBt = mv - 0 $$

我們不妨把 $ILBt = qLB$ 當作電容的動量，這樣剛好動量守恆：$Ft = mv + qLB$。

既然這樣，不如假設電容有「等效質量」$M$ 和「等效速度」$u$，那麼：

$$ Mu = qLB $$

爲了讓這個等效的質量速度有和諧美好的性質，$M$ 和 $u$ 可不能隨便亂取，最好還要滿足能量守恆：

$$ \frac12 Mu^2 = \frac12 CU^2 = \frac12 \frac{q^2}{C} $$

于是解得：

$$ \begin{cases} M = L^2B^2C \ u = \frac{q}{LBC} \ \end{cases} $$

豁然開朗啊。這個 $M = L^2B^2C$ 似曾相識。

甚至當 $u = v$ 的時候，相當於：

$$ \begin{align*} \frac{q}{LBC} &= v \ \frac{q}{C} &= vBL \ \end{align*} $$

恰好是穩態條件。所以下次再遇到一個電容加一個帶初速度的杆子的時候，可以直接寫出最終穩態時杆子速度 $v = \frac{mv_0}{m + L^2B^2C}$。

例

感謝成都七中二診模擬考試供題。

如图所示，在水平面内有间距为 $d$ 的两根导轨平行放置。每根导轨由两段光滑的直金属杆组成，连接点 $O_1, O_2$ 分别由一小段绝缘材料平滑连接。在整个导轨区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为 $B$。在靠近 $A_1 A_2$ 处静止放置一根金属棒，$B_1, B_2$ 之间连接有电感为 $L$ 的线圈，$A_1, A_2$ 之间连接有电容值为 $C$ 的电容和阻值为 $R$ 的电阻。电容带有初始电量 $Q_0$，靠近 $A_2$ 的极板带正电。除电阻 $R$ 外，所有的导轨、金属棒和元件的电阻均忽略不计。导轨连接处的绝缘材料不会对金属棒的运动产生干扰。$O_1, O_2$ 左右两边的导轨均足够长。现闭合开关 S，金属棒开始运动。已知金属棒质量为 $m$（线圈中产生的自感电动势大小为 $E = L \frac{\Delta I}{\Delta t}$，简谐振动的周期为 $2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}}$）。

求金属棒第一次在 $O_1 A_1 A_2 O_2$ 区域达到稳定状态的速度；
求金属棒第一次经过 $O_1 O_2$ 到下一次经过 $O_1 O_2$ 经历的时间；
若有 $\frac{B^2 d^2 C}{m} = k > 1$，求金属杆第 $n$ 次经过 $O_1 O_2$ 时，电阻上消耗的总热量占电容初始储存能量的比例，用 $k$ 表示。

圖大概：

          O1
  A1 +-----*----------+ B1
     |    |           |
   S \ .. | ......... |
     | .. | ......... $
   R # .. | ......... $ L
     | .. | ......... $
   C = .. | ......... | 
     |    |           |
  A2 +-----*----------+ B2
          O2

第一問口算 $v_0 = \frac{Q_0dB}{m + d^2B^2C}$。

第二問主要是注意到右邊沒有電阻，所以 $vBd = L\dot I$，積分就是 $xBd = LI$，所以 $I = \frac{xBd}{L}$，安培力 $F = \frac{xB^2d^2}{L}$，可以等效於彈簧振子。

第三問，出題老師這個 $\frac{B^2 d^2 C}{m} = k > 1$ 體現他深諳以上電容等效的道理。容易發現杆子的運動相當於每次在左側與電容發生完全非彈性碰撞，然後在右側速度反向。

假設在左側的時候電容杆子速度共爲 $v$，則去右側後回來就是 $v' = \frac{kmv - mv}{km + m} = \frac{k-1}{k+1}v$，公比 $q = \frac{k-1}{k+1}$ 這就出來了，後面的隨便做。

RC

考慮一個簡單的 RC 串聯電路。電容初始有 $q_0$ 的電荷量。可以列方程：

$$ \begin{gather*} I = \frac{U}{R} \ C = \frac{q}{U} \ I = - \dot q \ \end{gather*} $$

於是：

$$ \dot q + \frac{1}{RC} q = 0 $$

然後很顯然可以看出。

$$ q = q_0 \e^{-\frac{1}{RC}t} $$

令 $\tau = RC$，量綱分析這個 $\tau$ 就是一個時間。$\tau$ 很有意義，比如 $q(\tau) = \frac{1}{\e} q_0$，恰好是電荷量變成初始 $\frac{1}{\e}$ 的時候。

好吧，更大的意義是就可以把上面 $q$ 寫成：

$$ q = q_0 \e^{-\frac{t}{\tau}} $$

由此可見，理論上 RC 串聯電路永遠不會達到穩態。

簡

我們現在可以來通過設一些比較有意義的常數把上面的 $q$ 化簡了。就按照上面的，令：

$$ \begin{gather*} M = L^2B^2C \ u = \frac{q}{LBC} \ \end{gather*} $$

那麼

$$ \begin{align*} q &= \frac{F}{\frac{m}{LBC} + LB} t + \frac{\frac{mR}{LB} F}{\left( \frac{m}{LBC} + LB \right)^2}\left( \e^{-\frac{\frac{m}{LBC} + LB}{\frac{mR}{LB}} t} - 1 \right) \ &= \frac{FLBC}{m + M}t + \frac{mRLBC^2F}{(m+M)^2}(\e^{-\frac{m + M}{mRC}t} - 1) \ \end{align*} $$

不妨令 $\tau = \frac{mRC}{m + M}$：

$$ \begin{align*} q &= \frac{LBCF}{m + M}t + \frac{LBCF\tau}{m+M}(\e^{-\frac{t}{\tau}} - 1) \ &= LBC\left( \frac{F}{m + M}t + \frac{F\tau}{m+M}(\e^{-\frac{t}{\tau}} - 1) \right) \ \end{align*} $$

那麼：

$$ \begin{align*} u &= \frac{q}{LBC} \ &= \frac{F}{m + M} \left( t + \tau(\e^{-\frac{t}{\tau}} - 1) \right) \ \end{align*} $$

回過來求 $v$。別忘了，我們可以直接動量守恆：

$$ \begin{gather*} mv + Mu = Ft \ \begin{align*} v &= \frac{Ft - Mu}{m} \ &= \frac{Ft - M\frac{F}{m + M} \left( t + \tau(\e^{-\frac{t}{\tau}} - 1) \right)}{m} \ &= \frac{F}{m + M}\left(t - \frac{M}{m}\tau\left(\e^{-\frac{t}{\tau}} - 1\right)\right) \ \end{align*} \end{gather*} $$

好吧，其實挺美觀的，不是嗎。

那時間跟質量乘除有什麼直觀物理意義呢？不知道，也許讓式子美觀就是它的意義。

語文好題

Thu, 19 Feb 2026 00:00:00 GMT

寒假作業罷了。

很多東西是 OCR 的，OCR 工具是從依雲老師的玩具專案改的。OCR 結果中間有莫名其妙的空格，但是應付一下得了。

綿陽二診 A 卷

觀點。

5.學校將以“物種進化是否存在過渡階段”為辯題舉行辯論賽。如果讓你作為正方辯手，除了始祖鳥化石的證據外，你還可以從上述材料中找到哪些證據來支撐你方觀點。（6分）

達爾文“已有功能改變”論：生物進化是舊結構逐步逐步演化出新用途的過程，能夠表明過渡階段的存在；（道理論據）
地質記錄發掘存在侷限：目前對地殼研究開採不全面，但未發現不等於不存在，因此不能以證據缺失否定過渡階段的存在；（事實論據）
近緣物種現存特徵：近緣種常混合生長，它們構造存在細微差異，這是親種在進化過程中產生過渡型別的證據。（事實論據）

論點、論據、論證。論據包括道理論據和事實論據。

13.(1) 天其將亡予邪？不說吾過，極吾罪也。

難道是上天要使我滅亡嗎？（因為）不指出我的過錯，卻盡數羅織我的罪名。

14.材料二中王充是如何用“屈原”的例子來證明“天用災異遺告人”的觀點是錯誤的。（3分）

將屈原與鄒衍的冤屈程度和產生結果進行比較：鄒衍只是被拘禁，屈原卻是沉江殉國。屈原含冤而死，但楚國並無“夏口降霜”的災異。
歸謬結論若鄒衍能“誠感降霜”，則屈原更應引發災異，但歷史事實並無記載。
因此，鄒衍降霜的傳說純屬虛妄，進而證明“天用災異譴告人”之說站不住腳。

鄒衍蒙冤入獄，盛夏時節仰天悲哭引發天降寒霜，後成為冤獄或冤情的經典喻體。

語境（cf. 2025 新二卷“思想境界”）。

祝英臺近辛棄疾

……一瓢飲。人問翁愛飛泉，來尋箇中靜。繞屋生喧，怎做靜中境？我眠君且歸休，維摩方丈，待天女、散花時問。

16.有人認為“我眠君且歸休”一句既貼合本詞語境又反映了詞人心境。請結合全詞，簡要分析。（6分）

貼合語境：此句照應詞前小序“餘醉，未及答”的這一場景，“我眠”呼應醉態，“君且歸休”呼應“未及答”；同時是對前文“喧靜之辯”的收束，既結束對話，又自然引出後文維摩典故 反映心境：表現出詞人超然物外的閒適；同時，詞人想結束對話，不願再談，暗含對對客問不當的不滿，點明“心靜則靜”的主旨。

2025-2026 學年高三階段性綜合素質測評

教考結合。

2.下列對原文相關內容的分析和評價，不正確的一項是（3分）

A.文章前幾段具有綜述性質，對已有結論既有引述，又有評價。 B.文章第④段結尾的疑問是用類比暗示“五花馬”得名於毛色。 C.文章展示的爭議與《天文學上的曠世之爭》有異曲同工之妙。 D.文章“新辨”“五花馬”的過程，也是打破學科壁壘的過程。

名著閱讀。

5.多是“妨主”的“兇馬”的盧為什麼變成了幫助劉備的“吉馬”？請從《三國演義》塑造劉備這個人物形象的角度給出兩種有解釋力的說法並加以說明。（4分）

推動情節說。《三國演義》中，劉備此時不能死，兇馬的盧助其脫險，有傳奇性。
劉備天命說。《三國演義》中，劉備乃天命所歸，天命使馬“妨主”變“救主”。
劉備仁德說。《三國演義》中，劉備被塑為仁君，其仁德足以逢凶化吉，轉惡為善。

觀點。

14.材料二認為孔子對宰予的批評存在一些問題，請結合文本，簡要說明。（3分）

批評標準的問題：以“大惡”責“小過”，違背《春秋》褒貶的原則；
邏輯矛盾的問題：若宰予性惡則不應入孔門，若性善則批評過重；
言行不一的問題：孔子認同“毋求備於一人”，卻對宰予求全責備。

福建省九師聯盟2025-2026學年高三上學期12月月考（過手訓練 0123）

文學短評（cf. 2023 年高考題《給兒子》陳村）。

9.老師在指導同學們評價兩個文本時，給出一組關鍵詞：探索·價值。請結合文本談談你的理解。(6分)

（示例）：

兩個文本提到諸多科學家對太空的探索，表達了作者的崇敬之意。文本一寫到中外觀測星空的儀器和成果，文本二寫到張衡、伽利略對天體的觀測，牛頓、愛因斯坦對宇宙規律的探索。
兩個文本認識到宇宙的廣闊永恆和人類的渺小短暫，進而思考人類的價值。文本一作者在面對群星時，感悟人的價值來自其自身輸出光熱。文本二指出人生雖然短暫，但在自己創造的事業中獲得永生。

西江月

張孝祥

蘄體李君達才，當靖康、建炎之間，以諸生起兵河東，屢摧強敵，蓋未知其事，重為感嘆，賦此。

不識平原太守，向來水北山人。世間功業謾虧成。華髮蕭蕭滿鏡。幸有田園故里，聊分風月江城。西湖西畔晚波平。袖手時來照影。

主語。詩歌寫李達才藉以表達自己。

黑龍江省九師聯盟2026屆高三上學期1月第5次質量檢測（過手訓練 0120）

教考結合。

5.文中認為建安軍宣文學的核心任務是“佔據正義”，而曹操的《短歌行》被視為政治宣傳的代表作。請結合本文分析《短歌行》是如何體現這一特點的。（6分)

用悲情喚起情感共鳴：以對人生的憂思開篇，感慨時光流逝，引發年輕人對建功立業的嚮往，將個人抱負昇華為時代使命。
用包容氣度凝聚人心：以“山不厭高，海不厭深”的比喻感召天下，形成政治向心力。
以周公自況，將自身定位為求賢若渴、匡扶漢室的聖主，佔領道義制高點。

李老師評：答案和“佔據正義”不夠切合。

觀點。

司馬遷認為“在彼不在此”，即“治理國家的關鍵在於道德，而不是嚴酷的刑法”。請結合材料二分析他是如何得出這樣的結論的。(5分）

引用孔子和老子的觀點，證明德的重要性。
舉秦朝和漢朝不同的治理方法為例並將二者對比，證明德治勝於嚴酷的刑法。

常見論證方法：舉例論證、道理論證、對比論證、比喻論證、引用論證。

詞語辨析。

2025年9月以來，我國一些糧食主產區（包括陝西南部、山西南部、河南大部、山東大部、安徽淮北）降……

秋收連陰雨是指在秋季農作物（如玉米、棉花、大豆、水稻等)成熟收割關鍵期(通常為9月至10月)出……

文中加點的兩個詞語“包括”和“如”能否互換位置？請指出來並說明理由。（4分）

不能。“包括”：列舉具體所致的部分，不能多，也不能少。“如”：表示舉例，但所舉的例子具有不確定性。

AI 注：

舉例辨析：

（嚴謹） 參加人員包括張三、李四。（表示只有他們兩人）

（舉例） 參加人員如張三、李四。（表示還有其他人，只列舉了這兩個）

（重慶南開中學）重慶市高2026屆高三第五次質量檢測語文試卷（過手訓練 0114）

教考結合。

5.從《祝福》《阿Q正傳》《邊城》《老人與海》中任選一篇，分析其如何體現本文第⑦段和第⑧段有關“對偶美學”的觀點。（6分）

①第七段主要觀點是小說中對比人物呈現出對立與融合的特點。②《邊城》中大老沉穩，不擅長唱情歌，二老活潑，擅長唱情歌：性格迥異的兩人都喜歡翠翠，彼此的對立在善良、真誠的性格底色上實現融合互補。

①第八段主要觀點是小說的基本理念呈對偶特徵。②《邊城》中自然美、人情美、風俗美等美好和翠翠等人的悲劇形成對比：美好中潛藏著悲劇。

政寬則民慢，慢則糾之以猛；猛則民殘，殘則施之以寬。

下士以一言而敵還，以安社稷，其霸不亦宜乎？

政策寬厚，百姓就會輕慢（法令），百姓輕慢了，就用嚴厲（的手段）來糾正；政策嚴厲，百姓就會受到傷害，百姓受到傷害了，就再實行寬厚的（政策）
（楚莊王）謙恭地對待士人，憑藉（他們）一句話就讓敵人退兵，從而使國家安定，他稱霸不也是應該的嗎？

慢：輕慢。殘：傷害。下：謙恭對待（eg. 禮賢下士）。

錢鍾書在《談藝錄》中曾以“水中鹽”喻詩中之理趣，認為其最高境界在於“體匿性存，無痕有味”。由此觀之，詩中佳句的誕生，往往不是①的邏輯推演，而是一種②的靈感迸發。這種靈感，看似偶然，實則是詩人長久沉浸於文化傳統與生活體驗後，各種要素在腦海中的結晶。它要求詩人對前人成法既能入乎其內，如蜜蜂採蜜般廣泛吸納；又能出乎其外，③，最終釀造出自己的芬芳。正因如此，讀者面對“無理而妙”的千古名句時，常會經歷一種④的審美體驗：初覺其有悖常理，細品之下，卻發現它直抵人心深處更為本真的情理。

19.依次填入文中橫線上的詞語，全都恰當的一項是(3分)

A.按部就班靈光一現別出心裁恍然大悟 B.循序漸進妙手偶得推陳出新豁然開朗 C.按部就班妙手偶得別出心裁茅塞頓開 D.循序漸進靈光一現推陳出新如夢初醒

答案：B

按部就班：按照條理步驟辦事；現多指拘泥程式，缺乏創新(略帶消極色彩)。
靈光一現：靈感突然閃現(強調瞬間性，不必然指向創作成果)。
別出心裁：獨創一格，與眾不同(側重個人創意的新穎性）。
恍然大悟：一下子完全明白過來(強調認知上的突然領悟)。

循序漸進：按順序逐步推進或提高(強調過程有序，含積極意味)。
妙手偶得：專指文藝創作中因偶然靈感得到精妙作品(強調成果的偶然性與藝術性)。
推陳出新：淘汰舊的，創造新的(強調新舊更替的變革性）。
豁然開朗：由昏暗狹窄突然開闊：比喻頓時領悟(側重思想視野的開啟)。

C. 茅塞頓開：忽然理解明白(多用於解開思想困惑，與“恍然大悟”近義)。

D. 如夢初醒：像剛醒夢：比喻從糊塗或錯誤中醒悟過來(側重滯後性，常帶修正錯誤的意味)。

河南省鄭州市2026屆高三上學期第一次質量預測

高難度現代文 1 選擇題。

1.下列對原文相關內容的理解和分析，正確的一項是（3 分）

A.“樂而不淫，哀而不傷”體現了孔子節制情感表達的思想，其最終目的是維護禮教，維持社會政治秩序的穩定。

B.“樂而不淫，哀而不傷”是季札的審美觀念與孔子“禮之用，和為貴”思想相融合的產物，寄寓著孔子對藝術情感快適度的思考。

C.“樂而不淫，哀而不傷”作為一種詩學觀念，既對中國詩學影響深遠，也催生了中國古典詩歌中含蓄蘊藉的藝術風格。

D.“樂而不淫，哀而不傷”之所以能為詩人如何獲得藝術情感的快適度提供大體的答案，是因為它是一種有節制的、智慧的情感。

答案：D

A項於文無據，“其最終目的是維護禮教，維持社會政治秩序的穩定”有誤。 B項曲解文意。“寄寓著孔子對藝術情感快適度的思考”有誤。 C項“也催生了中國古典詩歌中含蓄蘊藉的藝術風格”理解有誤，原文“與孔子的樂而不淫，哀而不傷’的詩學思想有密切的關係”並不意味著是“樂而不淫，哀而不傷”“催生”了中國古典詩歌中含蓄蘊藉的藝術風格。

2.下列對原文相關內容的分析和評價，不正確的一項是(3分）

A.“藝術情感的快適度”是指適宜的情感強度，只要在適宜的情感強度之內，即使是消極的情感也可以令人愉快。

B.孔子意識到“樂”有從適意到狂喜、“哀”有從惋惜到悲愴的不同級別，而“淫”和“傷”是二者不可突破的限度。

C.對藝術情感而言，如果它過分強烈，就會破壞情感快適度，抹去它與實際功利間的心理距離，導致審美心境完全喪失。

D.材料由評析“樂而不淫，哀而不傷”，到剖析“藝術情感快適度”，再到揭示“如何獲取藝術情感快適度”，邏輯上層層深入。

答案：B

張冠李戴。“孔子意識到樂’有從適意到狂喜、哀’有從惋惜到悲愴的不同級別”有誤，根據第③段中的“同樣一種情感體驗則又有強度的區別，例如，快樂可以從適意到狂喜，憤怒可以從微慍到暴怒，哀傷可以從惋惜到悲愴。孔子的樂而不淫，哀而不傷’實際上已意識到情感強度的區別”可知，“樂’有從適意到狂喜、哀’有從惋惜到悲愴的不同級別”是作者所舉的例子，而非孔子意識到的內容。

審題。

4.作者認為“孔子的樂而不淫，哀而不傷’是對季札審美觀念的繼承和發揮”。請簡要說明作者得出這種看法的推理過程。（4分）

繼承，即相同點。發揮，即不同點。

季札對音樂有“樂而不淫”“哀而不愁”的評語，而孔子的“樂而不淫，哀而不傷”與季札的評語大同小異，因此孔子的話可視為對季札審美觀念的繼承。
季札“樂而不淫”“哀而不愁”等話語是用來評論音樂的，而孔子的“樂而不淫，哀而不傷”是用來評論詩歌的，評論物件發生了變化，因此孔子的話可視為對季札審美觀念的發揮。

分點。

文本二：

法西斯侵略戰爭給我們民族的創傷太深了，給我們這一代人的影響也太大了，全面地記載這次戰爭是歷史家的事。我只能從一個方面，一個學校，幾個家庭，一些人物，來反映那山河都在動盪的時代。

（摘編自宗璞《我與（東藏記〉》）

文本三：

“納須彌於芥子”，是宗璞先生的創作宗旨。所謂“納須彌於芥子”的境界，正是一位慣看歷史風雲、曾經滄海的老作家的自我期許。宗璞將“野葫蘆”自謙為“芥子”，裡面的內容則為“須彌”。暗含著“器”雖小，包容的卻是芸芸大千世界、渺渺宇宙之道。

（摘編自何英《（野葫蘆引》：要在葫蘆裡裝宇宙》）

9.宗璞的創作宗旨是“納須彌於芥子”，請結合三則材料談談文本一是如何體現這一創作理念的。(6分)

CoT：

創作理念是什麼？
“一個方面”：聚焦孟宅小家庭反映大戰爭。
“一個學校”（文中沒提到）、“幾個家庭”（一個）、“一些人物”（（主人公）個體 ⟹ 普遍性）

答案：

由文本二、三可知，“納須彌於芥子”指“以一個學校、幾個家庭、一些人物反映動盪時代”，用日常生活和普通平凡的人物，反映歷史風雲與宏大的社會面貌，實現“器小容大”。
文本一以孟宅這一小家庭中的家庭成員對宛平城開戰的對話與反應，表現盧溝橋事變這一重大歷史事件，以日常生活小場景反映大歷史。
文本一以送冰人、送菜人、衛葑、碧初等不同階層的普通人的生活言行，表現戰亂初期社會各階層的真實狀態，以個體狀況呈現整個民族的境遇。

2026屆高三八省聯考（T8）語文試題

李娟。

9.文本二提出“我正是這樣慢慢地寫啊寫啊，才成為此刻的自己的”，請結合兩則文本，談談李娟如何通過“慢慢地寫”完成自我建構。（6分）

對阿勒泰當地的人和事展開書寫，讓作者確立了紮根“阿勒泰生活”的創作與生命方向，完成作品《我的阿勒泰》。
對補鞋老人等平凡生命個體的觀察、思考和共情，讓作者在困窘、迷茫、孤寂的生活中感到溫暖，獲得心靈的安定、精神的成長。
“慢慢地寫”出經歷過的牧區生活，讓作者形成個人真實而真誠的文學風格。（？）

(1) 蠢然而蟻集，見物則爭趨之，其何異於猴哉？

（士兵們）騷動紊亂，像螞蟻一樣聚集在一起，見到財物就爭相追逐，他們和那些猴子又有什麼區別呢？

廣東省廣州市2026屆高三年級12月調研測試

戲劇。

田福貴（A）：謝什麼謝？你們還不趕快轉移到安全的地方去？趕快轉移！

朱卉琪：你是三團的？李槐樹：三團一營一連戰士李槐樹……（B）

田福貴（C）：如果像你說的演個節目能有這麼大的作用，那就給每個紅軍戰士發個木頭匣子——哦，發個留聲機得了，還要槍和手榴彈幹嗎？

田福貴（一怔）：你、你們……（D）我從一個赤衛隊員幹到紅軍營長，大小仗打過上百次啦，啥事兒沒遇到過？可從來還沒遇到過今天這麼難完成的任務！

8.話劇劇本中圓括號裡的舞臺說明，或明確人物的動作，或提示人物的語氣，或說明人物的心理……，請結合上下文，在劇本中A、B、C、D各處分別補出合理的舞臺說明。（4分）

| | A 人物語氣 | B 人物動作 | C 人物語氣 | D 人物心理 | | ---- | ------ | ------ | ------ | ------ | | 舞臺說明 | | | | |

A 焦急

B 責怪身體晃動

C 強忍疼痛嘲諷

D 既惱怒又無奈

9.作者為什麼把留聲機的“扔”與“留”設計為戲劇衝突？請結合文本簡要分析。（6分）

符合舞臺表演特點：“扔”與“留”的衝突設計，使矛盾迅速聚焦，劇情緊湊，易於在有限舞臺時空展開；強化動作與對抗，視覺性強，適合舞臺呈現；通過爭執、衝突，人物形象更鮮明立體。
凸顯作者創作意圖：留聲機象徵精神武器與革命信念，“扔”與“留”的衝突突顯了文藝與信念在革命鬥爭中的重要作用。（主旨）

文。

13.(2) 賓散，言無所遺失，嶽撫其肩曰：“若斯文不絕，其在爾乎。”

賓客散去後，沈麟士複述所聽內容，沒有絲毫遺漏，沈嶽拍著他的肩膀說：“如果沈家的文脈不會斷絕，恐怕就在你吧。”

四川省成都市部分中學2026屆高三上學期期中考試（過手訓練 1129）

8.小說多次出現"半個頭"“一個頭"“一馬之遙"等表示距離的詞，這樣寫有怎樣的藝術效果 (6分)

CoT：

總共 11 次出現。

1-4：“半個頭”⟹ 群馬奮蹄競技 ⟹ 場面熱烈緊張。
5-8：“半”→“一”⟹ 日尕爆發力、耐力。
9-11：“半”“一”“整”⟹ 日尕領先，勝利。（排比）

答案：

營造激烈緊張的比賽氛圍；
突出日尕的卓越實力、堅韌品質和不凡智慧；
增強敘事的節奏感，強化場景的畫面感與代入感。

13.(2) 彼豈必有摶虎之力，射鵰之技哉？不過深明古今之事，能決機宜之便耳。

他們難道一定有搏虎的力氣、射落大雕的技藝嗎？只不過是深刻通曉古今的事理，能夠判斷時機和事務的適宜之處罷了。

成實外教育集團高 2023 級高三 12 月聯考

心境（cf. 2025 新二卷“思想境界”）。

輞口遇雨憶終南山因獻王維

裴迪

積雨晦空曲，平沙滅浮彩。輞水去悠悠，南山復何在？

答裴迪憶終南山

王維

淼淼寒流廣，蒼蒼秋雨晦。君問終南山，心知白雲外。

16.在此次唱和中，裴迪與王維的心境有何不同？請結合詩歌內容簡要分析。（6分）

CoT：

裴詩：主觀情感與環境交融，積雨、滅浮彩暗示心情低沉（季節不好、天氣不好）。“南山復何在”問終南山（往日生活懷念，人生方向迷茫），也問終南山之人（對友人王維的思念）。
王詩：蒼茫浩大的景象。晦暗秋雨不過自然之理。自然本就如此，表現出超脫、淡然、隨緣的心境。

答案：

裴迪的心境：迷惘與追尋。以“晦”“滅”二字展現昏暗的景象，而“南山復何在”的疑問，則流露出因眼前之景而產生的迷惘，以及對精神歸宿的追尋。
王維的心境：豁達與通透。以“淼淼”“蒼蒼”兩個疊詞勾勒出蒼茫宏闊的意境，後以“心知自雲外”作答，表明“終南山”是內心的精神象徵，體現其超然物外的豁達與通透。

終南山：

歸隱之所。
終南捷徑：唐代盧藏用舉進士，然不受重用，遂隱居終南山以求高名，後果被召任官的故事。見《新唐書．卷一二三．盧藏用傳》。後用於比喻求官或求名利的便捷途徑。
佛→禪理→生命自如的狀態。

成都七中 2025—2026 學年度上期高 2026 屆一診模擬考試

人稱。

8.文本一多次出現“你爺爺”“你奶奶” 這樣的表述，產生了怎樣的敘述效果？請簡要分析。（6 分）

用“父親” 的視角講述祖輩和父輩的故事：使講述更有對話感、更加真實
串聯故事：串聯起了爺爺、父親和“我” 三個人的故事，敘述更立體全面。
深化主題：由讚揚祖輩父輩的革命精神到凸顯精神的傳承。

新高考教學教研聯盟2026屆高三年級12月聯考（過手訓練 1202）

研究方法。

5.為深入解讀青年的“躺平”心態，作者採用了哪些研究方法？請根據文本概括。（6分）

調查採訪獲取第一手資料。
查詢文獻（引用學者觀點）作為理論參考。
分析“躺平”的心理動機和語義流變。（？）
追溯“躺平”心態的民族文化根源。（？）

史論文。

14.材料二屬於史論文。如果將材料一視為材料二第一段的唯一史料來源，那麼材料二第一段中的哪些論斷是沒有事實根據，或者與史料矛盾的？請簡要概括。 (5 分)

材料二認為老人的意圖不在於授予張良書籍，這一論斷與史料矛盾。材料一記載老人說“讀此則為王者師矣”，可見老人對授予書籍十分重視。
材料二認為老人為張良從前的冒險舉動而惋惜，這一論斷沒有事實根據。材料一沒有證據表明老人知道張良的身份或事蹟。
材料二認為老人有意“深折其少年剛銳之氣，使之忍小忿而就大謀”，這一論斷沒有根據。
材料二認為張良面對老人的無禮舉動能夠心平氣和， “油然而不怪”，這一論斷與史料矛盾。材料一記載： “良鄂然，欲毆之”“強忍”。

語感。

林黛玉這樣說話，是她的性格() ；除此之外，林黛玉作為貴族少女，如果直接指責賈寶玉() 有失身份，使用雙關修辭旁敲側擊，則顯得含蓄、得體；

21.依次填入文中括號內的詞語，全都恰當的一項是(3 分) ( ) A. 使然難免 B. 使然不免 C. 所致難免 D. 所致不免

B。

出題人說：“所致”往往是消極的；“難免”帶有同情、體量的意味，“不免”則沒有同情意味，僅表示委婉語氣。

四川省 2025-2026 學年高三一輪複習階段性測評

9.作者認為“他們不問親疏，不問恩怨，甚至不問人畜，都成了彼此最後的依靠”，請結合文本，談談你對這句話的理解。

不依靠子女，不計較恩怨，將鄰居和牲畜作為重要的情感寄託。
三個“不問” 由人到物，層層遞進，體現了依靠物件的擴大。
群體間的相互依靠，是村民們對抗孤獨的一種方式，展現了鄉土社會中人情的溫暖與生命的堅韌。

元旦

Thu, 01 Jan 2026 00:00:00 GMT

2024 年末，我在重慶，在八中集訓。

下午八中就放學了。熱情的廣東學校教練帶着我們去八中旁邊的徐鼎盛喫飯。

廣東的孩子，平日飲食和川渝這邊風格大不一樣，沒喫幾道菜就辣的不行。我雖是四川的，平日裏喫辣也不太行，喫的面紅耳赤，嘴皮子發燙。

孤僻的信競選手不善於人際交往，這一桌裏頭，竟沒一個能認識一下。這就是 00 後的飯局吧：不必要談點什麼，敬杯酒；只需糊里糊塗喫點什麼，看看手機，就過去了。

大家一起回到酒店，電梯裝不下這麼多人，走幽黑的樓梯上樓。閒人幹點什麼，玩玩遊戲，跨個年。

我打開 B 站直播——這還是我第一次認真看 B 站的跨年晚會。

元旦前一段時間，八中還有午飯晚飯時間在食堂前的表演活動。現場就能報名獻唱，高一到高三，甚至有老師都有參加的。真是——八中學生多才多藝。一頓飯的時間，就能聽到三四首周杰倫的歌。音樂聲音飄揚，晚飯後在機房都能聽到，機房大家常常指指點點，但都沒有人真的去唱的。

我理解不了那些勇敢唱歌的人，像八中的中飯晚飯唱歌的人，NOI 及 WC 文藝演出表演的人。或許人內心深處還是希望表現自己的，可惜既沒有歌喉，更沒有勇氣。

下樓去超市買兩包薯片，兩瓶可樂。是夜晚十一點左右。酒店旁的便利店還二十四小時營着業。深夜的重慶，寒風徐徐吹過，街上少有行人。匆匆回到酒店，不知心中是冷還是暖。

葉總愛玩殺戮尖塔，我玩玩 Hypixel，看看 B 站晚會。然後就跨年了。

莫名想起哭泣少女樂隊。仁菜隻身一人來到川崎。有點夢想，更有現實逼迫無奈。寄居他鄉、孤立無援。她站在漆黑的房屋中央，手裏拿着新的電燈泡，伸出手，卻搆不着。

重慶的集訓強度很大。我頭一次感覺，原來停掉文化課集訓競賽，應該這麼訓。先前在成外，確實太悠閒了。

後來去了冬令營，後來又在八中訓了一段時間，後來省選掛了。

2025 末，我就在成外。

回歸文化課居然已有九個月。開始時覺得天塌了，後來也覺得沒什麼，很長一段時間沒有寫過代碼了。文化課成績大概還可以，但遠比不上班上如 ckq 之類人，他競賽回來不久就能年級第 9，太可怕了。

下午我騎着自行車，去綠道騎了一下午。好久沒有這樣騎了。冬天，風颳得很冷，下巴吹的麻，還有流鼻涕。

騎到哪裏是次要的。上坡、下坡、上坡、下坡。只管前進。

有時停下來，看看橋下小河，道旁湖泊。人還是應該多親近大自然。

綠道旁是一個紡織專科學校。這裏的學生其實也就比我大幾歲吧。

晚上不知道幹什麼，就是無所事事，也沒看什麼節目。能聽到煙花聲音，也算是跨年儀式了。

明年的我會在哪裏？

測電阻

Sat, 08 Nov 2025 00:00:00 GMT

伏安法測量電阻，根據電壓表所測範圍是否包含電流表，可以分爲內接法和外接法。

如圖，左邊是內接法，右邊是外接法。由於我確實不知道內外接的英文叫什麼😅，姑且用 i(nner) 表示內接，o(uter) 表示外接。

衆所周知，內接測量出來的電阻：

$$ R_i = R_x + R_A $$

外接的：

$$ R_o = \frac{R_xR_V}{R_x+R_V} $$

大內小外

我們希望比較內接和外接的誤差，可以比較相對誤差。內接是：

$$ \eta_i = \frac{R_i-R_x}{R_x} = \frac{R_A}{R_x} $$

外接：

$$ \eta_o = \frac{R_x-R_o}{R_x} = \frac{R_x}{R_x+R_V} $$

當內接優於外接的時候，即：

$$ \begin{aligned} \eta_i &< \eta_o \ \frac{R_A}{R_x} &< \frac{R_x}{R_x+R_V} \ R_A(R_x+R_V) &< R_x^2 \end{aligned} $$

即應該比較 $R_A(R_x+R_V)$ 和 $R_x^2$ 的大小關係。不過正常來說，$R_V$ 應該比 $R_x$ 大很多，乾脆把 $R_x+R_V$ 當成 $R_V$，所以就有了我們背的 $\sqrt{R_AR_V}$ 和 $R_x$ 比大小。

根據測量數據選擇內外接

測量未知電阻，內接法測出 $U_i = 1.75\text{V}, I_i = 0.33\text{A}$，外接法測出 $U_o = 1.65\text{V}, I_o = 0.34\text{A}$，問應該使用內接還是外接？

正確解法是：認爲內接的 $I_i$ 是準的，外接的 $U_o$ 是準的，於是內接的 $U$ 相對誤差爲 $0.1/1.65=2/33$，外接的 $I$ 相對誤差是 $0.01/0.33=1/33$，所以電流表變化較小，更精準，因此選用外接。

有點不好理解，有人會問：$U$ 和 $I$，計算電阻的時候，一個在分子，一個在分母，兩個怎麼能直接比較相對誤差呢？比如 $1/0.1=10$，分子差 $1%$ 是 $1.01/0.1 = 10.1$，分母差 $1%$ 則是 $1/0.101\approx 9.901$。貌似不太一樣，能不能比較精確地分析呢。

令 $R_i = U_i/I_i$，$R_o = U_o/I_o$，根據衆所周知，有：

$$ \begin{aligned} \frac{1}{R_x + R_A} &= \frac{1}{R_i} \ \frac{1}{R_x} + \frac{1}{R_V} &= \frac{1}{R_o} \ \end{aligned} $$

兩個方程三個未知數，肯定解不了。假設 $R_A$ 已知，則可以消元：

$$ \begin{aligned} R_x &= R_i-R_A \ R_V &= \frac{R_xR_o}{R_x-R_o} = \frac{R_o(R_i-R_A)}{R_i-R_A-R_o}\ \end{aligned} $$

注意：這裏頭分母帶減法了，分母可能爲 0。但此時，$R_x = R_o$，說明外接絕對精確，$R_V$ 當作無窮大，就是理想電錶，其實很合理。

帶到大內小外的判別式裏頭（sympy 算的）：

$$ R_A(R_x+R_V) - R_x^2 = \frac{\left(R_{A} - R_{i}\right)^{2} \left(2 R_{A} - R_{i} + R_{o}\right)}{R_{i} - R_{A} - R_{o}} $$

居然可以因式分解！不考慮分母爲 0 的情況，由於小外偏小，分母一定正。所以我們得到：

當 $R_A = R_i$ 的時候，呃，相當於 $R_x = 0$ 了，內外接都可以。
當 $R_A < \frac{R_i - R_o}{2}$ 的時候，用內接。等於皆可。大於外接。

太神奇了。

假如說我們知道的是 $R_V$，同樣的方法：

$$ \begin{aligned} R_x &= \frac{R_VR_o}{R_V-R_o} \ R_A &= R_i - R_x = \frac{R_iR_V - R_iR_o - R_VR_o}{R_V - R_o}\ \end{aligned} $$

由於小外偏小，$R_V-R_o$ 肯定大於 0。

不用算判別式了，直接帶上面的結論，內接更好時：

$$ R_{A} = \frac{R_iR_V - R_iR_o - R_VR_o}{R_V - R_o} < \frac{R_i - R_o}{2} $$

解得，$R_V < \frac{(R_i+R_o)R_o}{R_i-R_o}$。

但是，我們其實還有信息沒用完。由於內外接測量的時候都是同一個電源（$E,r$），我們可以寫出閉合電路歐姆定律：

$$ E = I_o(r+R_A+R_o) = U_i\left(\frac{1}{R_V} + \frac{1}{R_i}\right)r + U_i $$

多了 $r$ 這一個自由元，也多了一個方程，什麼都解不了。

先考慮 $r=0$ 的簡單情況，即：

$$ I_o\left(R_A + R_o\right) = U_i $$

解得：

$$ R_A = \frac{U_i}{I_o} - R_o = \frac{U_i - U_o}{I_o} $$

帶入數據算得：$R_A \approx 0.294 > (R_i - R_o) / 2 \approx 0.225$，所以外接👍。

對於 $r > 0$……

有億點💩：

from sympy import *
init_printing()

Ui,Ii,Uo,Io,r,RV,RA,Rx = symbols("U_i, I_i, U_o, I_o, r, R_V, R_A, R_x", positive=True)
Ri = Ui/Ii
Ro = Uo/Io
eq1 = Io*(r+RA+Ro) - (Ui*(1/RV + 1/Ri)*r+Ui)
eq2 = 1/Ro - (1/Rx+1/RV)
eq3 = Ri - (Rx + RA)

sol = solve([eq1, eq2, eq3], [RV, RA, Rx])

for RV_sol, RA_sol, Rx_sol in sol:
    D = sympify(RA_sol*(RV_sol + Rx_sol) - Rx_sol**2)
    print(D)

結果大家自己跑吧😊。

附

繪製電路圖代碼：

\documentclass{standalone}
\usepackage[european]{circuitikz}
\begin{document}

\begin{circuitikz}
  \draw
  (0, 0) to[battery1] (2, 0) to[switch] (4, 0)
  (0, 0) to (0, 1)
         to[R=$R_x$] (2, 1)
         to[ammeter={$I,R_{A}$}] (4, 1)
         to (4, 0)
  (0, 1) to (0, 2.5)
         to[voltmeter={$U,R_{V}$}] (4, 2.5)
         to (4, 1);

  \draw
  (5, 0) to[battery1] (7, 0) to[switch] (9, 0)
  (5, 0) to (5, 1)
         to[R=$R_x$] (7, 1)
         to[ammeter={$I,R_{A}$}] (9, 1)
         to (9, 0)
  (5, 1) to (5, 2.5)
         to[voltmeter={$U,R_{V}$}] (7, 2.5)
         to (7, 1);
\end{circuitikz}

\end{document}

四川省高考報名截圖技巧

Sun, 26 Oct 2025 00:00:00 GMT

首先登入高考報名網站：https://zhbm.sceea.cn。

學校要求截圖列印高考報名填寫資訊，但是網頁做的很💩，截圖比較麻煩。

簡單分析可以發現其 url 形如：

https://zhbm.sceea.cn/#/redirect/iframeMethod?url=https://zhbm.sceea.cn/scgkks/h5/index.html?hideHeader=1&hideFooter=1#/sso

明顯是網頁上下加了一個 nav 和 footer，中間夾一個實際內容的 iframe，我們只需要截 iframe 其實就夠了。顯然 iframeMethod?url= 後面的就是 iframe 實際內容。至於後面的 #/sso，這顯然是用某種 spa router 的時候更新頁面沒有更新 location，不要管他就行了。

具體進入：

https://zhbm.sceea.cn/scgkks/h5/index.html?hideHeader=1&hideFooter=1#/xgk/ybmInfo?index=1

就是所需的高考資訊頁。左邊的 navigation drawer 可以收掉。然後 C-p 可以列印成 pdf，注意調整紙張大小以及方向，效果大概如圖：

但是這個 print 效果確實有點差。有人可能希望截圖。

大部分瀏覽器都有直接截全頁的功能，很貼心。但直接截圖的產物和電腦解析度有關，往往不適合列印，如何產生高解析度的截圖呢？

以 Firefox 為例，Chormium 的應該差不多。首先 F12，有一個 Responsive Design Mode，對的就是那個模擬手機螢幕的功能。

新增一個自定義裝置：寬度 1920 夠了，高度根據自己需要擷取的內容大小調，關鍵的是這個 Device Pixel Ratio(DPR)，指的是瀏覽器會用幾個真實畫素來渲染一個邏輯畫素。比如 DPR=4，則瀏覽器會用 4x4 個畫素來渲染一個畫素，這樣得到的影像更加精細。比如我設定 DPR=4，這樣可以得到 7680x4320 的超高畫質截圖。

最後選用這個自定義裝置，然後截圖。

但這個截圖就不要用 Firefox 右鍵那個了。用頂欄（位址列下方的欄）右側有一個 Take a screenshot of the viewport。它雖然不能截全圖，但是我們可以改裝置的高度。比如高考報名頁面 1200px 高度差不多能裝下所有內容。

對於 Chromium，用 DevTools 裡頭的截圖，Ctrl-Shift+P 後有個 Capture full size screenshot。

最後能得到放大放大再放大連個羽毛都看的清清楚楚的高畫質大圖。👍

國家網絡安全周

Sat, 20 Sep 2025 00:00:00 GMT

這幾週是「國家網絡安全宣傳周」。許多上了川大網絡安全少年班班，網絡安全是幹什麼呢？我不知道。我只會玩電腦🤪，給大家講點玩電腦基本常識。

我想起在初一還是初二的時候，我們小組要講一個網絡安全主題班會。我給大家介紹了 HTTPS 和 RSA 相關內容，結果 RSA 講到一半就給 cyb 叫停了😭️。

但是這裏我想介紹什麼就介紹什麼。

RSA

假如 Alice 和 Bob 希望通信，但是兩人之間的信道是公開的，任何人都能知道 Alice 和 Bob 交換了什麼信息。那麼 Alice 和 Bob 還有有辦法加密通信嗎？

有的兄弟有的。假設是 Bob 要給 Alice 發消息。Alice 先生成一對密鑰，具體操作如下（以下內容中紅色表示被公開的信息，當然整個算法也是被公開的）：

選一對大素數 $p$ 和 $q$。
題外話，如果你也希望生成一個大素數的話，可以使用：openssl prime -generate -bits <位數>。比如 openssl prime -generate -bits 1024 就能生成一個 1024 位（二進制位）的素數。以前我寫字符串哈希的時候喜歡這樣幹，不過後來有人告訴我固定大素數模數然後運行時隨機 base 更能防 hack。
令 $n=pq$。
計算 $r = \varphi(n) = \varphi(p) \varphi(q) = (p-1)(q-1)$。
隨便選一個在 $\bmod r$ 意義下有逆元的數 $e$（也即 $\gcd(r,e)=1, 1 < e < r$，很多時候用的是 $65537=2^{16}+1$）。
計算 $e$ 的在 $\bmod r$ 意義下的乘法逆元，記作 $d$。
然後將 $\textcolor{red}{(n,e)}$ 公開，這是公鑰，$(n,d)$ 自己保管好，這是解密用的私鑰。

Bob 現在知道了 Alice 公開的 $\textcolor{red}{(n,e)}$，他有一段想要偷偷發給 Alice 的信息 $t$，那麼他只需要將 $\textcolor{red}{c} \equiv t^{\textcolor{red}{e}} \pmod {\textcolor{red}{n}}$ 發給 Alice。

最後 Alice 只需要解密消息，計算 $t \equiv \textcolor{red}{c}^d \pmod {\textcolor{red}{n}}$，便得到了 $t$。其原理是 $c^d \equiv \left(t^e\right)^d \equiv t^{ed} \equiv t^{ed \bmod \varphi(p)} \equiv t \pmod n$，即歐拉定理。

那麼安全性怎麼保證？這個也叫做 RSA Problem：已知 $e$，$n$，$c \equiv t^e \pmod n$，求 $t$。雖然和質因數分解不等價，但是目前比較好的解決方法也只有分解 N。所以 RSA 的安全性很大程度上依賴於質因數分解。然而質因數分解目前沒有多項式複雜度算法，所以想要分解長達 2048 甚至 4096 位的 $n$，幾乎是不可能的。

但是，RSA 運算太慢了，如今大家聊天軟件中隨隨便便就傳個幾 MB 甚至 GB 級別的文件，RSA 的速度無法接受。於是一個好的方案是，隨機生成一份強密碼，將這個密碼用 RSA 傳輸，具體的消息傳遞用更快速的對稱加密，如 AES 等。

Diffie–Hellman

這是一個專門用於交換密鑰的算法。

Alice 和 Bob 公開選一個素數 $\textcolor{red}{p}$ 和其一個原根 $\textcolor{red}{g}$。
Alice 隨機選一個私鑰 $a$，計算公鑰 $\textcolor{red}{A} \equiv \textcolor{red}{g}^a \pmod{\textcolor{red}{p}}$，並公開。
Bob 也同理隨機選一個私鑰 $b$，計算公鑰 $\textcolor{red}{B} \equiv \textcolor{red}{g}^b \pmod{\textcolor{red}{p}}$，並公開。
$K \equiv \textcolor{red}{B}^a \equiv \textcolor{red}{A}^b \equiv \textcolor{red}{g}^{ab} \pmod{\textcolor{red}{p}}$，這就是雙方協商出來的密鑰。

然後就可以拿這個 $K$ 去對稱加密通信了。

安全性在於想從計算 $A$ 和 $B$ 計算出 $K$，需要解出 $a$ 或 $b$，但這是離散對數問題，目前沒有多項式複雜度算法。

橢圓曲線

橢圓曲線不是圓錐曲線，而是類似 $y^2 = x^3 + ax + b$ 的曲線。在 $\bmod p$ 意義下橢圓曲線上的點可以定義加法乘法。所以自然能想到把上面這些算法搬到橢圓曲線上。

好處是橢圓曲線離散對數問題比 RSA 更難一點，因此用更短的密鑰能達到同等的安全性。

簽名

非對稱加密還有一個用途就是用於簽名，其實相當於將 RSA 逆用，RSA 的公鑰私鑰有明顯的對稱性。

Alice 有一對 RSA 公私鑰，然後又發佈了一條消息，怎麼證明這條消息確實是 Alice 發佈的？

Alice 只需要將這條消息的 hash 值用自己的私鑰加密得到 h，然後將其公佈。

如果你能用 Alice 的公鑰，將 h 解密得到正確的 hash 值，那麼就能證明 Alice 極可能有 RSA 私鑰。道理和之前的 RSA 通信是一樣的。

密鑰代表人嗎？

上面的過程依賴一件事情，Alice 發佈的密鑰真的是 Alice 發佈的。不安全的信道裏，很可能有不法分子在中途篡改 Alice 的消息，導致在最初傳遞密鑰的時候就出錯了。後面一切的加密都白搭。

所以怎麼辦呢，沒有好的辦法。

一個想法是，不要用不安全的信道傳輸消息。比如 Alice 和 Bob 可以線下碰頭，相互交換密鑰，這樣安全性會高很多。

但是問題來了，線下碰頭成本太高了。並非只有人與人交流纔有加密的需求，很多時候你訪問網站，確認網站發送的消息真的是網站發送的，保持一定的保密性，同樣很重要。結果很荒唐了，本來是爲連接世界的互聯網，結果爲了保證絕對安全，只在線下可以接觸的地方互聯，真是互聯了個寂寞。

還有想法是，建立權威的證書頒發機構，也就是 CA。大體思想是 CA 幫你驗證了很多網站的證書合法性，如果你相信 CA 的話，那就相信這些網站吧。但是建立權威的 CA 本身比較中心化，而且很可能有可信度問題。

但至少在這個層面上，人們往往願意用隱私換取便利。

量子計算機

Shor 算法可以多項式複雜度內分解質因數。所以隨着量子計算機的發展，所以上面提到的 RSA、DH，以及他們的橢圓曲線版本，在幾十年後都很可能失效。

好在人類還是發明了一些足以應對量子計算的加密算法，什麼 Kyber 之類，但是我不會😵‍💫。

所以，到這裏，如果暫時不管量子計算機的話，你可以發現，通過上面的加密手段，設計一個安全的代理、一個安全的通訊軟件、安全的存放文件，其實都不難，並且這樣的技術已經相當成熟了。

這是數學，永遠是對的。

加密與犯罪

加密技術既能維護用戶隱私安全，又可能被惡意分子濫用。警方無法從端到端加密軟件中獲取情報。那麼政府應該禁止這種端到端的通信軟件嗎？這是目前很多國家還在爭議的話題。

我認爲不應該。

這種軟件實現上並不困難。加密算法一旦公開，邊難以收回。政府封鎖往往只會讓守法公民受限，而犯罪分子猖獗。
保護公民隱私，防止信息洩露，對於打擊電信詐騙也有積極意義。
很多人認爲通信隱私權屬於基本人權。

密碼管理

但是這些東西很大程度上依賴於用戶的密碼，假如說加密用的密碼是 123456，那上面的一切加密都白搭了。

因此我特別推薦用密碼管理器，我用的是 KeePass，東西放在本地比放在雲端安全一點。多用複雜隨機生成的密碼，然後自己只需要記憶一個強的主密碼就行了。

上游

然而，有太多事情是你掌控不了的。比如你用的 Firefox 或者 Chromium，幾千萬行代碼，可能沒有漏洞嗎？於是安全性其實是建立在上億行你從來沒有看過，也不可能看過的代碼之上。開源軟件雖然給了人們閱讀甚至自己修改代碼的自由，但是不等於安全。而人們傾向於相信有更專業的人已經審閱過了，便無條件相信。況且，對於 99% 以上的人來說，也只能無條件相信，畢竟想要編譯 Firefox 都是要有一定水平的。

Linus's law 說：given enough eyeballs, all bugs are shallow。但是真的有 enough eyeballs 嗎？最後網絡安全的大廈落在了極少數默默無聞開發者的良心上。

開源軟件的開發不應該只是慈善事業。

用戶應該有「不安全」的自由

這個「安全」打引號。

除了這些開源軟件尚且可以看一看源代碼，人們每天還依賴很多閉源商業公司產品，比如手機，戶晨風最喜歡的蘋果，其操作系統本來就是封閉的，許多 Android 手機的廠商定製系統也是封閉的。它們面向的客戶 99% 不懂技術，它們也不希望用戶懂技術。

打着安全的旗號，爲你好，無非只是希望你少用競爭對手的產品，爲自己更好地謀求利益罷了。

當然也不只是商業公司。

線下真實

網絡安全到最後，大道至簡，竟是社會工程學。技術絕對不是萬能的，很多時候安全問題不止在數學和算法。

前面這麼多這麼牛的加密方法，真的有用嗎？

應當明確一點，加密≠沒有特徵。所以不需要能夠解密你的加密數據，只需看出你的數據是刻意加過密的，便知道你很可能心裏有鬼。所以優秀的代理軟件往往會傾向於模仿正常流量，以免被注意。

如果有一天，刀子就架在你的脖子上了，到底是你的數據隱私重要，還是生命重要，只有你自己知道。

冪

Sat, 13 Sep 2025 00:00:00 GMT

大量~~抄襲~~參考 Wikipedia，這下成搬運工了。

作爲對與導的補充。

葉總說這一步不對：

$$ \def\x{\textcolor{red}{x}}

\begin{aligned} \e^{\x} &= \lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac1n\right)^{n\x} \ &= \lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^{n\x} \binom{n\x}{i} \frac{1}{n^i} \ &= \lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^{n\x} \frac{\x^{i}}{i!} \ &= \boxed{\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\x^i}{i!}} \ \end{aligned} $$

因爲 $nx$ 並不是整數，直接展開相當於用到了廣義二項式定理，就有循環論證的嫌疑了。

仔細想來，高中似乎並沒有講怎麼處理實數冪次，甚至連明確的定義都沒有。空中樓閣，怎麼都不可能證出來的。

所以我們要從冪的定義開始研究起。

但是我不會實分析。

Z Q

首先，當指數 $n$ 是整數的時候：

$$ b^n = \underbrace{b \times b \times b \cdots \times b}_{\text{$n$ 個 $b$}} $$

完全可以理解。我們還有指數的乘法規則：

$$ \def\n{\textcolor{red}{n}} \def\m{\textcolor{blue}{m}}

\begin{aligned} b^{\n} \times b^{\m} &= \underbrace{b \times \cdots \times b}{\text{$\n$ 個 $b$}} \times \underbrace{b \times \cdots \times b}{\text{$\m$ 個 $b$}} \ &= \underbrace{b \times \cdots \times b}_{\text{$(\n + \m)$ 個 $b$}} \ &= b^{\n + \m} \end{aligned} $$

當 $b \ne 0$ 時，由於 $b^0 \times b^n = b^{0+n} = b^n$，所以 $b^0 = 1$。

也容易得到 $\left(b^n\right)^m = b^{nm}$。

定義 $b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{b}$ 爲唯一的非負實數 $y$ 滿足 $y^{n} = b$。

然後由 $\left(b^n\right)^m = b^{nm}$，整個有理數上的定義就很容易了。

R

這確實是一個巨大的飛躍。一個簡單的想法是，定義：

$$ \boxed{ b^{x} = \lim_{r(\in \mathbb{Q}) \to x} b^{r} } $$

看着就特別對😊️。

題外話，在做題的時候經常會遇到這種抽象函數問題 $f(x+y) = f(x)f(y)$。如果我們設 $f(1) = a$，那麼可以得到在 $n \in \mathbb{Z}$ 時候，$f(n) = a^n$，然後就能容易得到 $r \in \mathbb{Q}$ 的時候 $f(r) = a^r$。

但是對於 $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$，$f(x) = a^r$ 卻不一定，除非有 $f(x)$ 連續的條件。

好消息是還有其他定義方法。

我們定義 $\exp(x)$ 爲：

$$ \boxed{ \def\x{\textcolor{red}{x}} \exp(\x) = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{\x}{n}\right)^{n} } $$

可以知道 $\exp(0) = 1$，$\exp(1) = \e$。

這裏指數上的 $n$ 可以理解爲數列極限，當成整數，可以放心用二項式定理展😋️。

$$ \boxed{ \def\x{\textcolor{red}{x}} \exp(\x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\x^i}{i} } $$

$\exp(x)$ 滿足上面說的指數乘法規則：

$$ \def\x{\textcolor{red}{x}} \def\y{\textcolor{blue}{y}}

\begin{aligned} \exp(\x)\exp(\y) &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{\x}{n}\right)^n \left(1 + \frac{\y}{n}\right)^n \ &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{\x}{n} + \frac{\y}{n} + \frac{\x\y}{n^2}\right)^n \ \end{aligned} $$

$\frac{xy}{n^2}$ 高階無窮小，忽略掉：

$$ \def\x{\textcolor{red}{x}} \def\y{\textcolor{blue}{y}}

\boxed{ \begin{aligned} \exp(\x)\exp(\y) &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{\x + \y}{n}\right)^n \ &= \exp(\x + \y) \ \end{aligned} } $$

然後很容易就得到在 $x \in \mathbb{Q}$ 的時候，$\exp(x) = \e^x$。

因爲：

$$ \lim_{x \to 0} \exp(x) = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2} + \cdots = 1 $$

所以對於一個 $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$：

$$ \begin{aligned} \exp(x) &= \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} \exp(r) \exp(r-x) \ &= \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} \exp(r) \ \end{aligned} $$

符合上面那個定義，所以我們可以認爲在 $\mathbb R$ 裏頭，$\exp(x)$ 就是我們想要的 $\e^x$。

然後就是已經在導中已經闡述的，定義 $\ln x$ 爲 $\exp(x)$ 的反函數，最終就能定義：

$$ \boxed{ b^x = \exp(x\ln b) = \e^{x\ln b} } $$

C

$\e^x$ 自然能擴展到 $\mathbb C$ 上面。根據歐拉公式：

$$ e^{\i x} = \cos x + \i \sin x $$

所以可以容易得到：

$$ \boxed{ b^{x + \i y} = b^x[\cos(y\ln b) + \i \sin(y\ln b)] } $$

還可以算對數：

$$ \boxed{ \ln z = \ln r + \i (\theta + 2k\pi)\quad (k \in \mathbb Z) } $$

其中 $r$ 是 $z$ 的模長，$\theta$ 是 $z$ 的幅角。

底數是 $\mathbb C$ 的怎麼辦呢？

$$ \begin{aligned} z^{a+b\i} &= \e^{(a+b\i) \ln z} \ &= \e^{(a+b\i)[\ln |z| + i(\theta + 2k\pi )]} \ &= \e^{a\ln r - b\theta - 2bk\pi + \i(b\ln r + a\theta + 2ak\pi)} \ &= r^a \e^{-2bk\pi - b\theta} [\cos(b\ln r + a\theta + 2ak\pi) + \i \sin(b\ln r + a\theta + 2ak\pi)] \ \end{aligned} $$

太噁心了🤮，什麼都有多解。不好玩。

認真計算弱酸 pH

Sun, 31 Aug 2025 00:00:00 GMT

很久以前就寫好了，但是由於 Astro 不好配置 mhchem 一直沒發，沒想到更新到 Astro 5 然後突然就能用了🤯。

有了 $K_{a}$，$K_{w}$，以及兩個守恆之後，可以解出所有东西。假設某一元弱酸 $\ce{HA}$，其電離常數爲 $K_{a}$，水的電離常數爲 $K_{w}$，總共有 $\pu{n mol}$，體積爲 $\pu{V L}$。可以列出以下式子：

$$ \begin{cases} \ce{[H+]} \ce{[OH-]} = K_{w} \ \dfrac{\ce{[H+]} \ce{[A-]}}{\ce{[HA]}} = K_{a} \ \ce{[HA]} + \ce{[A-]} = \frac{n}{V} \ \ce{[H+]} = \ce{[OH-]} + \ce{[A-]} \end{cases} $$

總共有 4 個方程，同時也恰好有 4 個未知量，所以每個未知量都可解。

消元整理得到：

$$ \ce{[H+]}^{3} + K_{a} \ce{[H+]}^{2} - \left(K_{w} + \frac{K_{a} n}{V}\right)\ce{[H+]} - K_{a} K_{w} = 0 $$

簡單的一元弱酸，$\ce{[H+]}$ 與 $V$ 的關係居然是一個三次方程，並且沒法因式分解。對於 $n$ 元酸，則是 $n+2$ 次方程。

這個方程一共有三個實根，兩負一正。求解三次方程可以用 NumPy 的 roots 函數，使用方法如 np.polynomial.Polynomial([1, 1, 4]).roots()。也可以用 SymPy，但是 SymPy 是直接套的三次方程求根公式，求數值的時候會有精度問題。lambdify 後可能出現 invalid value encountered in sqrt，一個粗暴的解決方法是讓 lambdify 使用 mpmath 計算（傳入參數 modules=["mpmath"]）。

最終圖像（帶的是醋酸 $K_a=1.8 \times 10^-5$，$K_w = 1 \times 10^{-14}$）：

參考代碼：

import sympy as sp
import numpy as np
from mpmath import mp
import matplotlib.pyplot as plt

K_a, K_w, n, V = sp.symbols('K_a, K_w, n, V', positive=True, real=True)
H, OH, X, HX = sp.symbols('[H^{+}], [OH^{-}], [X^{-}], [HX]', positive=True, real=True)

root = sp.solve(H**3 + K_a * H**2 - (K_a * n / V + K_w) * H - K_a * K_w, H)

root_lambda = sp.lambdify(V, root[2].subs(((K_a, sp.Rational("1.8e-5")), (K_w, sp.Rational("1e-14")), (n, sp.Rational("1")))), modules=["mpmath"])
mp.dps=100

V_values = np.logspace(1, 8, 1000)
H_values = []

for i in V_values:
    res = root_lambda(i)
    H_values.append(res.real)

plt.plot(V_values, H_values, label='pH-V')
plt.xlabel("Volume (L)")
plt.ylabel("[H+] (mol)")
plt.yscale("log")
plt.xscale("log")
plt.grid(True, which="both", linestyle="--", linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.show()