从高度为 h 的位置，以初速度 v 丢出一球，沿什么仰角才能让落点距离 x 最远？如图：

做法 1

直接爆算。

随便联立一下，把 t 给消掉：

−h=vsin⁡θ xvcos⁡θ−12g(xvcos⁡θ)2-h = v\sin\theta\,\frac{x}{v\cos\theta} - \frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v\cos\theta}\right)^2

整理得：

−h=xtan⁡θ−gx22v21cos⁡2θ-h = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v^2}\frac{1}{\cos^2\theta}

由 1cos⁡2θ=sin⁡2θ+cos⁡2θcos⁡2θ=tan⁡2θ+1\frac{1}{\cos^2\theta} = \frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \tan^2\theta+1，得到三角函数仅有 tan⁡θ\tan\theta 的式子：

−h=xtan⁡θ−gx22v2(tan⁡2θ+1)-h = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v^2}(\tan^2\theta+1)

欲求 x 最大值，考虑关于 tan⁡θ\tan\theta 二次方程之 Δ\Delta：

Δ=x2−4(−gx22v2)(−gx22v2+h)=−g2v4x4+(2ghv2+1)x2≥0\begin{aligned} \Delta &= x^2 - 4\left(-\frac{gx^2}{2v^2}\right)\left(-\frac{gx^2}{2v^2}+h\right) \\ &= -\frac{g^2}{v^4}x^4 + \left(\frac{2gh}{v^2}+1\right)x^2 \ge 0\\ \end{aligned}

解得：

x2≤2ghv2+v4g2x^2 \le \frac{2ghv^2+v^4}{g^2}

即：

∣x∣≤vg2gh+v2|x| \le \frac{v}{g}\sqrt{2gh+v^2}

计算太难。

做法 2

注意到无论向什么方向发射，最后落至地面时，速度的大小是一样的，因为机械能守恒。

可求出最后的速度 vt：

12mv2+mgh=12mvt2vt=v2+2gh\begin{aligned} \frac{1}{2}mv^2+mgh &= \frac{1}{2}mv_{t}^2 \\ v_{t} &= \sqrt{v^2+2gh} \end{aligned}

考察这个 vt 和 v 以及 v-vt 构成的矢量三角形：

注意到要求的 x=vcos⁡θ tx = v\cos\theta\,t。倘若为其乘上一个 gg，即 vcos⁡θ gtv\cos\theta\,gt，恰好为此矢量三角形之面积两倍，所以求此面积最值，即可得答案。

必刷题上是设 vt 与 v 夹角为 α，正弦定理有：

gtsin⁡α=vtsin⁡(π/2−θ)gtcos⁡θ=vtsin⁡α\begin{aligned} \frac{gt}{\sin\alpha} &= \frac{v_{t}}{\sin(\pi/2-\theta)} \\ gt\cos\theta &= v_{t}\sin\alpha \end{aligned}

所以：

x=vcos⁡θ gtg=vvtsin⁡αg≤vvtg\begin{aligned} x &= \frac{v\cos\theta\,gt}{g} \\ &= \frac{v v_{t} \sin\alpha}{g} \\ &\le \frac{v v_{t}}{g} \end{aligned}

妙哉！