測電阻 | EarthMessenger 博客

伏安法測量電阻，根據電壓表所測範圍是否包含電流表，可以分爲內接法和外接法。

如圖，左邊是內接法，右邊是外接法。由於我確實不知道內外接的英文叫什麼😅，姑且用 i(nner) 表示內接，o(uter) 表示外接。

衆所周知，內接測量出來的電阻：

R_i = R_x + R_A

外接的：

R_o = \frac{R_xR_V}{R_x+R_V}

大內小外

我們希望比較內接和外接的誤差，可以比較相對誤差。內接是：

\eta_i = \frac{R_i-R_x}{R_x} = \frac{R_A}{R_x}

外接：

\eta_o = \frac{R_x-R_o}{R_x} = \frac{R_x}{R_x+R_V}

當內接優於外接的時候，即：

\begin{aligned} \eta_i &< \eta_o \\ \frac{R_A}{R_x} &< \frac{R_x}{R_x+R_V} \\ R_A(R_x+R_V) &< R_x^2 \end{aligned}

即應該比較 $R_A(R_x+R_V)$ 和 $R_x^2$ 的大小關係。不過正常來說， $R_V$ 應該比 $R_x$ 大很多，乾脆把 $R_x+R_V$ 當成 $R_V$ ，所以就有了我們背的 $\sqrt{R_AR_V}$ 和 $R_x$ 比大小。

根據測量數據選擇內外接

測量未知電阻，內接法測出 $U_i = 1.75\text{V}, I_i = 0.33\text{A}$ ，外接法測出 $U_o = 1.65\text{V}, I_o = 0.34\text{A}$ ，問應該使用內接還是外接？

正確解法是：認爲內接的 $I_i$ 是準的，外接的 $U_o$ 是準的，於是內接的 $U$ 相對誤差爲 $0.1/1.65=2/33$ ，外接的 $I$ 相對誤差是 $0.01/0.33=1/33$ ，所以電流表變化較小，更精準，因此選用外接。

有點不好理解，有人會問： $U$ 和 $I$ ，計算電阻的時候，一個在分子，一個在分母，兩個怎麼能直接比較相對誤差呢？比如 $1/0.1=10$ ，分子差 $1\%$ 是 $1.01/0.1 = 10.1$ ，分母差 $1\%$ 則是 $1/0.101\approx 9.901$ 。貌似不太一樣，能不能比較精確地分析呢。

令 $R_i = U_i/I_i$ ， $R_o = U_o/I_o$ ，根據衆所周知，有：

\begin{aligned} \frac{1}{R_x + R_A} &= \frac{1}{R_i} \\ \frac{1}{R_x} + \frac{1}{R_V} &= \frac{1}{R_o} \\ \end{aligned}

兩個方程三個未知數，肯定解不了。假設 $R_A$ 已知，則可以消元：

\begin{aligned} R_x &= R_i-R_A \\ R_V &= \frac{R_xR_o}{R_x-R_o} = \frac{R_o(R_i-R_A)}{R_i-R_A-R_o}\\ \end{aligned}

注意：這裏頭分母帶減法了，分母可能爲 0。但此時， $R_x = R_o$ ，說明外接絕對精確， $R_V$ 當作無窮大，就是理想電錶，其實很合理。

帶到大內小外的判別式裏頭（sympy 算的）：

R_A(R_x+R_V) - R_x^2 = \frac{\left(R_{A} - R_{i}\right)^{2} \left(2 R_{A} - R_{i} + R_{o}\right)}{R_{i} - R_{A} - R_{o}}

居然可以因式分解！不考慮分母爲 0 的情況，由於小外偏小，分母一定正。所以我們得到：

當 $R_A = R_i$ 的時候，呃，相當於 $R_x = 0$ 了，內外接都可以。
當 $R_A < \frac{R_i - R_o}{2}$ 的時候，用內接。等於皆可。大於外接。

太神奇了。

假如說我們知道的是 $R_V$ ，同樣的方法：

\begin{aligned} R_x &= \frac{R_VR_o}{R_V-R_o} \\ R_A &= R_i - R_x = \frac{R_iR_V - R_iR_o - R_VR_o}{R_V - R_o}\\ \end{aligned}

由於小外偏小， $R_V-R_o$ 肯定大於 0。

不用算判別式了，直接帶上面的結論，內接更好時：

R_{A} = \frac{R_iR_V - R_iR_o - R_VR_o}{R_V - R_o} < \frac{R_i - R_o}{2}

解得， $R_V < \frac{(R_i+R_o)R_o}{R_i-R_o}$ 。

但是，我們其實還有信息沒用完。由於內外接測量的時候都是同一個電源（ $E,r$ ），我們可以寫出閉合電路歐姆定律：

E = I_o(r+R_A+R_o) = U_i\left(\frac{1}{R_V} + \frac{1}{R_i}\right)r + U_i

多了 $r$ 這一個自由元，也多了一個方程，什麼都解不了。

先考慮 $r=0$ 的簡單情況，即：

I_o\left(R_A + R_o\right) = U_i

解得：

R_A = \frac{U_i}{I_o} - R_o = \frac{U_i - U_o}{I_o}

帶入數據算得： $R_A \approx 0.294 > (R_i - R_o) / 2 \approx 0.225$ ，所以外接👍。

對於 $r > 0$ ……

有億點💩：

from sympy import *
init_printing()

Ui,Ii,Uo,Io,r,RV,RA,Rx = symbols("U_i, I_i, U_o, I_o, r, R_V, R_A, R_x", positive=True)
Ri = Ui/Ii
Ro = Uo/Io
eq1 = Io*(r+RA+Ro) - (Ui*(1/RV + 1/Ri)*r+Ui)
eq2 = 1/Ro - (1/Rx+1/RV)
eq3 = Ri - (Rx + RA)

sol = solve([eq1, eq2, eq3], [RV, RA, Rx])

for RV_sol, RA_sol, Rx_sol in sol:
    D = sympify(RA_sol*(RV_sol + Rx_sol) - Rx_sol**2)
    print(D)

結果大家自己跑吧😊。

附

繪製電路圖代碼：

\documentclass{standalone}
\usepackage[european]{circuitikz}
\begin{document}

\begin{circuitikz}
  \draw
  (0, 0) to[battery1] (2, 0) to[switch] (4, 0)
  (0, 0) to (0, 1)
         to[R=$R_x$] (2, 1)
         to[ammeter={$I,R_{A}$}] (4, 1)
         to (4, 0)
  (0, 1) to (0, 2.5)
         to[voltmeter={$U,R_{V}$}] (4, 2.5)
         to (4, 1);

  \draw
  (5, 0) to[battery1] (7, 0) to[switch] (9, 0)
  (5, 0) to (5, 1)
         to[R=$R_x$] (7, 1)
         to[ammeter={$I,R_{A}$}] (9, 1)
         to (9, 0)
  (5, 1) to (5, 2.5)
         to[voltmeter={$U,R_{V}$}] (7, 2.5)
         to (7, 1);
\end{circuitikz}

\end{document}