關聯速度問題 | EarthMessenger 博客

高中物理關聯速度問題是類似這種這樣的問題：

用一個繩子經過一個定滑輪 $A$ 拉一個固定在一條杆子上的質點 $P$ ，給定拉繩子的速度 $v_{1}$ 和繩子與杆子形成的夾角 $\theta$ ，求質點 $P$ 運動速度 $v_{2}$ 。

一般做法是將 $v_{2}$ 分解成平行於繩子的速度 $v_{\parallel}$ 和垂直與繩子的速度 $v_{\bot}$ ，得到 $v_{\parallel} = v_{1}$ ，又由於這個幾何關係推出 $v_{2}\cos \theta=v_{\parallel}$ ，然後求得答案。

然而我確實不太理解爲什麼分解後剛好有 $v_{\parallel}=v_{1}$ ，感覺很疑惑。

有一個比較數學的推導方法：

由於 $\angle AOP$ 是直角，所以， $\triangle OPA$ 滿足： $OP^2+OA^2=AP^2$

爲了方便，不妨設 $OA=h$ ， $OP=x$ ， $AP=l$ ，即：

h^2+x^2=l^2

考慮在 $\Delta t$ 的時間內 $P$ 移動了 $\Delta x$ ，同時繩子收縮了 $\Delta l$ ，有：

\begin{aligned} h^2+(x-\Delta x)^2 &= (l-\Delta l)^2 \\ h^2+x^2+(\Delta x)^2-2x(\Delta x) &= l^2+(\Delta l)^2-2l(\Delta l) \\ \end{aligned}

由於前面的 $h^2+x^2=l^2$ ，故：

(\Delta x)^2-2x(\Delta x) = (\Delta l)^2 - 2l(\Delta l)

當 $\Delta t \to 0$ 的時候，忽略掉高階無窮小的 $(\Delta x)^2$ 和 $(\Delta l)^2$ ：

2x(\Delta x) = 2l(\Delta l)

兩邊同時除以 $2\Delta t$ ，得：

xv_{2} = lv_{1}

因爲幾何關係，有 $x=l\cos\theta$ ，故：

v_{2}\cos\theta = v_{1}