關聯速度問題

日期:
標籤: whk

高中物理關聯速度問題是類似這種這樣的問題:

用一個繩子經過一個定滑輪 AA 拉一個固定在一條杆子上的質點 PP,給定拉繩子的速度 v1v_{1} 和繩子與杆子形成的夾角 θ\theta,求質點 PP 運動速度 v2v_{2}


一般做法是將 v2v_{2} 分解成平行於繩子的速度 vv_{\parallel} 和垂直與繩子的速度 vv_{\bot},得到 v=v1v_{\parallel} = v_{1},又由於這個幾何關係推出 v2cosθ=vv_{2}\cos \theta=v_{\parallel},然後求得答案。

然而我確實不太理解爲什麼分解後剛好有 v=v1v_{\parallel}=v_{1},感覺很疑惑。

有一個比較數學的推導方法:

由於 AOP\angle AOP 是直角,所以,OPA\triangle OPA 滿足:OP2+OA2=AP2OP^2+OA^2=AP^2

爲了方便,不妨設 OA=hOA=hOP=xOP=xAP=lAP=l,即:

h2+x2=l2h^2+x^2=l^2

考慮在 Δt\Delta t 的時間內 PP 移動了 Δx\Delta x,同時繩子收縮了 Δl\Delta l,有:

h2+(xΔx)2=(lΔl)2h2+x2+(Δx)22x(Δx)=l2+(Δl)22l(Δl)\begin{aligned} h^2+(x-\Delta x)^2 &= (l-\Delta l)^2 \\ h^2+x^2+(\Delta x)^2-2x(\Delta x) &= l^2+(\Delta l)^2-2l(\Delta l) \\ \end{aligned}

由於前面的 h2+x2=l2h^2+x^2=l^2,故:

(Δx)22x(Δx)=(Δl)22l(Δl)(\Delta x)^2-2x(\Delta x) = (\Delta l)^2 - 2l(\Delta l)

Δt0\Delta t \to 0 的時候,忽略掉高階無窮小的 (Δx)2(\Delta x)^2(Δl)2(\Delta l)^2

2x(Δx)=2l(Δl)2x(\Delta x) = 2l(\Delta l)

兩邊同時除以 2Δt2\Delta t,得:

xv2=lv1xv_{2} = lv_{1}

因爲幾何關係,有 x=lcosθx=l\cos\theta,故:

v2cosθ=v1v_{2}\cos\theta = v_{1}