EarthMessenger 博客

我想去人大

Mon, 22 Jun 2026 00:00:00 GMT

人大是中国人民大学，当然如果我能当全国人大代表也很好。

一

我居然过了人大强基初试。挺幸运的。感觉好多数学物理都不会，最后还是以高于分数线 15 分的成绩过了（满分 360）。

总之我要去北京了。

二

上次去北京，应该是小学五年级。当时大多数旅途经历已经模糊了，升旗、爬长城、北京烤鸭、参观清北，这就是标准北京旅游套餐。

看天安门升旗，那时正是八一建军节，早上四点钟不到就起床，到了广场，早已是人头攒动。其实也看不到什么，小学的我个子不高，人又太多，好像听到国歌声，尽力看看，国旗就已经到顶了。最深刻的反而是看到围栏内部，就在旗杆旁边，有小学生排成方队，能直接近距离看升旗。所以北京小学生的尊贵一下子就凸显出来了。

听说现在参观天安门需要预约了。偌大一个广场，居然得全部围栏封起，要安检，要预约，显得有点过分庄重了。

确实，天安门太厚重了，北京太厚重了。这是元明清三代的京城，现代的首都，这里集中了中国最高的政治权力。到处皇家色彩的红墙，还有灰色的胡同青砖，天有时蓝得透彻，有时晦暗昏沉。天安门更是把这种厚重具象化了。更何况，你知道，天安门广场上，有五四运动，一二·九运动，有开国大典，有阅兵……四十四万平方米的广场，从来都是挤满了人的，历史的人，现在的人。

北京风很大，没有树荫的地方太阳很晒，就是典型的北方气候。也许住惯了，我还是更喜欢成都，天府之国。但北京能下雪，不得不令我向往。

三

按照考生须知，考生不得透露任何关于初试的相关内容，但复试好像没有这个规定。

排队的时候遇到了个四川文科考生，开玩笑问我物理能不能有他历史高。然后进候考区，先是看到一个拿着《算法竞赛高端指南》的考生，应该是 OIer，于是坐到他旁边套近乎。然后发现旁边又有两个四川 OIer，嘉祥的，应该在省选还是 WC 见过。这次人大强基 OIer 好像有点多。

听他们说，去年考题有“证明任意一个竞赛图都有哈密顿通路”，这可把我吓到了。我早都不记得哈密顿通路是什么意思了，他们也不知道，于是只能相信今年题目不可能和去年重了。

然后莫名其妙又聊到排序，突然就聊到了有没有优于 $O(n\log n)$ 基于比较的排序。我很自豪地给我旁边那个拿蓝书的同学讲解，如何用信息论分析基于比较排序的复杂度下界：

每次比较，可得到小于和不小于两种结果。进行 $m$ 次比较操作，总共就能得到 $2^m$ 种比较结果。而长度为 $n$ 的排列共有 $n!$ 种。

所以要通过比较把不同排列区分出来并得到正确的排序方式， $2^m \ge n!$，所以 $m = O(\log(n!))$，根据斯特林近似，那 $m = O(n\log n)$。

面试抽签，我们这一坨抽到了连续的前四个号。只有一个同学号比较靠后，他既没带水又没带书，挺煎熬。

到我面试了，有点紧张。

先是第一个房间。一道数学和一道信息题。果断选择信息。

一个有向图，可以选一条边让他的权重 $w = f(w)$，问 $s$ 到 $t$ 的最短路。

$f(x) = \lfloor x / 2\rfloor$

$f(x) = x - C$（$f(x)$ 可能小于 $0$）

第一问我说建分层图，然后 Dijkstra 跑最短路。

而后第二问，我糊涂了。我知道 Dijkstra 不能处理负权图，但我忘了该用什么算法了，于是我说，用 Johnson 算法。这当然是错的，Johnson 是先在 Bellman-Ford 跑了一次单源最短路之后，跑全源最短路用的。而且我已经不记得 Johnson 和 Bellman-Ford 具体怎么做了。

沉默一下后，我又说，对于任意一条最短路，这个 f(x) 的贡献是一样的，所以直接跑单源最短路再在答案上减 C 就行了。这当然也是错的，我完全忘记了要考虑负环。

后来教授又问我，问一能不能不建分层图，我说可以 Dijkstra 的同时维护每个节点最短路径最大边权，然后在最大边权上除以二。这个应该是对的。

然后第二个房间。一道数学，一道题干有点长的物理，和一道信息。

randN() 是一个生成 [1, N] 的均匀随机整数的函数。可以调用 rand5()，要生成 rand7()。

怎么做？

这个做法，调用 $n$ 次期望会用几次 rand5()？如果 $n$ 足够大，最少需要几次 rand5()？

我从第一问开始蠢。先 rand5() 对 5 拒绝采样，得到 rand4()，两个 rand4() 拼起来，去掉一位，得到 rand8()，再对 8 拒绝采样，得到 rand7()。需要调用次数： $\left( \frac{5}{4} \times 2 \right) \times \frac{8}{7} = \frac{20}{7}$。

然后对于 $n$ 足够大，教授质问我有没有懂这是什么意思？我很含糊地说，两个 rand4() 拼起来的时候，可以把去掉的一位留给下一次使用。我确实没体会到 $n$ 足够大的含义。

然后出考场，我悟了。用信息论分析，rand5() 提供 $\log 5$ 的熵，生成 rand7() 需要$\log 7$ 的熵，所以 $n$ 足够大的时候理论下界是 $\frac{\log 7}{\log 5}$。

好吧，我输了。我被我考前自豪地给同学分享的信息论打败了。我不知道那个同学有没有做起这个题。

面试全面失败。

体测的时候，吹肺活量，第一次吹的时候吹 1100mL 多时机器突然停了，第二次吹才吹正常。立定跳远，每次我都跳 2.5m 多，结果那个机器前两次读数都给我读成 2.2m 左右。好在是取最大值。

四

结束了。接下来两个月再没有什么重大考试了。没有了。没有了。只等开盲盒了。

北京旅游，其实也不知道旅什么游。总之妈妈带我去雍和宫，便去了。反正香火鼎盛，便是全中国最灵验的地方。

点三支香，跪在拜垫上，闭眼。

「我是郝**，身份证号*****************7，我郑重在此跪拜，是我想许几个愿望。」

许什么愿望呢？高考能上 660，能过人大强基，这是我目前最迫切的愿望。具体一点，想排名能四川省前 1000？

「排名」这个词，很有毒性。「比较靠前」看似委婉，实际上却是血淋淋地踩在别人头顶的感觉。这是不是有些贪婪了？有些恶毒了？慈眉善目的菩萨，怎能容下这种卑鄙的愿望？

于是我又往回缩，愿望不应该太自私。众生皆苦，能不能让中国政治开明一点，更开放包容，更公正法治，更好社会保障……

在我之前，对国家许愿的人也很多……结果是没有结果。有些东西，神仙也无能为力，正所谓：「从来就没有什么救世主，也不靠神仙皇帝！」但佛教的解法不同，佛教徒从内心熄灭烦恼。那你能割舍世俗，落发出家吗？难啊，所以苦是生命的底色。

风吹过香炉，烟雾舞动，神仙能看见人间的愿望吗？

五

来北京旅游，有些不知道该干什么。主要原因是之前来过了。而且北京确实也没啥吃的，餐馆一连串都是北京烤鸭，铜锅涮肉。也可能是因为我旅游旅少了，缺少发现城市乐趣的眼睛。

但当我发现沿着雍和宫向北，就是地坛的时候，我还是有些诧异的。

地坛，相比天坛，都是古代帝王祈求国泰民安的场所，但要低调很多。更低调的还有日坛、月坛、先农坛。我知道地坛，还是从史铁生文章《我与地坛》中了解的。

正门，一副大字：「地坛公园」。地坛早就不是「废弃的古园」了，已经是百姓日常来往的公园。院内老人居多，还有很多旅客和小朋友。甚至还有一个挺大的球场，老人们打着一种我叫不上名来的球，问 Gemini 才知道是槌球。还有人踢毽子，拉单杠，拉二胡，吹笛子，喂鸽子。确实是一派祥和景象。

地坛公园的树和草地，都是可以认养的。高德地图上特别标出了：「史铁生和余华认养的树」，不知道这是不是本人亲自认养的（毕竟史铁生 2010 年就去世了），但确实有些意思。我突然觉得，旅游就该这样，跟着一个人，一篇文章，一本书，探索一个地方。

晚上也不知道吃什么，于是去吃肯德基。肯德基麦当劳这类快餐店在北京挺多的，可见北京美食确实有些缺乏。

第二天上午，不知道该去哪里，随意翻地图，还是打算去中国美术馆，这名字太霸气了，中国这个词，不是北京驾驭不了。淡淡地，随意漫步，一上午就耗过去了。然后便回家了。

高考游记

Wed, 10 Jun 2026 00:00:00 GMT

OIer 心态很好。凡是参加的大型比赛考试都能写「游记」，其他竞赛就很少有这种文化。倘能把联赛、省选、甚至国赛都当成普通旅途，那高考为何不可呢？可这需要一点玩世不恭，超然物外的豁达勇气。

一

一号自习；二三号最后一次模考；四号讲评；五号散伙饭。

有点感冒，这是我最担心的。有些许症状：喉咙痒、头昏、胸闷。我不禁想到鲁大师，他在国赛 Day 1.5 突然发烧，也许命运就是这样反复无常，我只能窃喜我情况比他好点。

高三的书搬回家，有点惊讶怎么有这么多浪费的数据。包括但远不限于：只做了不到十页的化学高考蓝皮书（距高考还有一个多月才发的数据），没有动过的数学、物理、化学二轮数据（确实没用），九九新的天星金考卷（四十五套刷完就敢去高考）。

当然还有更多没有完成的计划。我们四月写了一个计划，五月又写了一个计划——为了应付差事我还对 D 老师问了好久——总之全部没有运行。很久以前，张华似乎还提出高三做完物理步步高大本小本，三年高考题，加练半小时，最好还有强基一本通，可我最后只把大本做完了。

我还是喜欢自由主义，没必要整这么多计划，正如哈耶克所说的，「理性的自负」。

这么多的书，塞满了一个手推车。我还是缺少断舍离的勇气，尽管好多书不会再看了。

怅然，如果学生高考后生物化学这些都忘完了，那教育的意义何在？

二

六号看考场，住二十中旁边酒店。通知是 15:28 发准考证，16:20 试听，我想 15:45 出发已经足够早了。结果先是没找到正门，绕着二十中逆时针走了一圈，才发现就在第一个路口左手边。

家长不在，我背的包，以及其中手机，只能交给张华代管。过安检的时候只有我一个人，仓皇进考场，连看一眼厕所都忘了。张华叮嘱大家应该静坐二十分钟，想一想未来三天会发生的事，可我就干坐着，也不知道该想什么。

考场提供了足量的纸巾，这让我很放心，我前头一直有点担心感冒流鼻涕。最后问监考老师能不能换个桌子，感觉腿放不下，监考老师也挺热心的。

最后疏散演练，大家集合到操场，然后就出考场了。这时正是 16:20 左右。

三

难眠。一是有些咳嗽，二是感觉冷热不舒服——一个姿势躺久了就容易热，然后翻身；试图不盖被子，但空调有有点冷。虽然困，但是睡不着。拼命想要睡却睡不着，一直持续到好晚。明天考语文数学，最重要的两科。

起床，吃早饭，然后就是语文了。

昨天看了几乎整天的语文，看作文和默写，外加一道圆锥曲线和一道现代文一。可有什么用呢？

大概提前半个小时到了考场坐着。有点牢，干坐着。很紧张，能感到心跳很强烈。我竟感觉不到困，也许肾上腺素发力了。

拿到卷子，先扫看一眼。现代文二第九题居然是选择，默写都会背，但突然不会写「缠」了，好在后面做完现代文一之后会写了。

这是我高三做语文前面做最快的一次了，居然九十分钟不到就做完了，可能是文言古诗比较简单的缘故。但作文写的好像有点拉胯，尽管有这么多时间，好像也没有多出彩，朱老师整理的那么多名言也没用上。

下午数学，实在灾难。

我卡在第 17 题了。最后做法是利用第一问求得 $\sin A\sin C$ 和 $\cos A\cos C$，得到 $\sin^2 A + \sin^2 C$ 与 $\sin^2 A\sin^2 C$，然后从韦达构造二次方程解出 $\sin A$ 和 $\sin C$，需要解一个系数两百多的二次方程。我不知道我考场怎么这么唐，有韦达了哪怕先算 $\frac{\sin A}{\sin C} + \frac{\sin C}{\sin A}$ 都好点啊。

18，19 就太仓促了。18 解完轨迹，问 $t$ 取何值有对称中心，感觉 $Ax^2 + By^2 + Cx + D = 0$ 这种不该都有对称中心吗，怎么会问「值」呢？同时我也不知道怎么证明一个曲线有对称中心，到头来写了两行莫名其妙的东西，没分。

19 题第三问，我看这个函数不是凸的吗（实际不是），那按照琴生这个 $f(k+x) + f(k-x) > 2f(k)$ 应该恒成立才对啊。于是也不知道写什么过程了。

好像都不算难，我怎么做这么唐。

历史有时就是这么脆弱。倘当年荆轲刺秦王成功了，倘当年鸿门宴刘邦没有逃掉，倘当年岳飞不被莫须有冤杀。我恍然感觉命运就在这薄纸之中，一念之间，可你又无法改变，考场没做出来是事实，「主观能动性」是那么的无力……

四

物理，有点难。第三题考纵波，这谁想得到，只能凭感觉选。第十题，我凭生活经验感觉手掌给球壳的力好像不只是法向的？总之考察建模能力，思考了半天后，又感觉应该法向比较好。实验题最后一空，算出来，需要读数的图上的点，不在格点上。十五题巨大计算，列了一大堆方程之后考试结束了。

英语还好。开考前数作文行数，小作文居然只有 9.5 行，平时成外一般 13 行来着，大作文每段 9 行。听听力的时候感觉教室有点回声，同时有人（包括我）在咳嗽。小作文给了第一句话之后，不知道要不要写「I'm writing to ...」，最终没写。

化学应该比去年简单，至少我做完了。出人意料的是生物，选择题一堆不确定的，生态感觉不好，那个从种间关系的角度分析红杉幼苗为什么死的多不会，遗传没做出来，不过相信赋分。

五

于是结束了。

走出二十中后门，家长聚在门口，堵个水泄不通，好多拍照的、举花的、挥手的。我莫名想起了《哦，香雪》，正是高中语文第一单元的小说。

次日还有口语。先在准备室看一篇英文文章，有四个原文中有答案的问题和一个稍开放的问题。结果正式考的时候我特别紧张，语速很快，原来该说三分钟的 topic 说了感觉不到一分钟。不过不算分，就这样吧。

真的结束了。

六

高考期间还是应该稍刷手机。比如我在高考期间看到「中国灵活就业人数今年料达3.2亿（联合早报）」、「为什幺今年高考全网静悄悄？（知乎）」、「考不上，4 天后送外卖/考上的，4 年后送外卖（青年之声，懒得找）」、「独木桥上少了几十万匹马（星球商业评论）」、「中产的你，值不值得再卷高考。（海边的西塞罗）」「不要让大学耽误了孩子（历史押韵，找不到了）」……

考完后，想想未来的路。首先是数学确实考不尽人意，其他学科也估不了分。人大强基和南科大撞了，得二选一。暖心的是，考完之后，居然有人大学长 Cocoly1990 主动加我 QQ，太感动了。

未来怎么走，四年后甚至更久以后，没有人知道。我觉得，就现在情况来看，教育是和就业息息相关的，很少有人是纯粹喜欢学习而上大学的。

AI 好像增加了一些就业岗位，又好像替代了一些。371 万人考公，2000 万外卖骑手，一千多万毕业生。

全国二卷说「君不见多少青衿种菊修篱避象塔一隅」，是这样，君不见上次学生运动还是上次。

寒冬。学生就坐在教室，能怎么办呢？能怎么办呢？埋头种菊修篱罢了。

六

查分：116+139+138+83+94+95=665，省排 650，很满意了😄️。

数学 139 这个完全超出预料。正如前文所说，18(3), 19(3) 都没做出来，祖坟要冒青烟了。

有电容有外力单杆

Sat, 07 Mar 2026 00:00:00 GMT

典

经典的有电容有外力单杆：

PS：图是 Gemini 画的，直接输出 Typst 代码。感觉加训 pelican riding a bicycle 有效果。

很容易列出几个方程：

$$ \begin{gather*} Ft - ILBt = mv - 0 \ It = q \ E = vBL \ C = \frac{q}{U} \ I = \frac{E - U}{R} \ \end{gather*} $$

我去，这怎么做。

还好，高中只会考 $R = 0$ 的情况。由于电阻是 $0$，所以能瞬间达到稳态。于是可以认为 $E = U$。

但是 $I = \frac{E - U}{R}$ 是什么？这下子成 $0/0$ 未定式了。先不管它。

那：

$$ It = q = CU = CvBL $$

于是：

$$ \begin{gather*} Ft - CvB^2L^2 = mv \ v = \frac{Ft}{m + CB^2L^2} \ \end{gather*} $$

好吧，求出速度了。然后其它的都可以求了，比如 $I = \dot{q} = CaBL = \frac{FCBL}{m + CB^2L^2}$。

干

可是某同学不太能理解电阻为 $0$，凭什么就瞬间稳态，所以他想出来可以先求解电阻 $R$ 不为 $0$ 的情况，再分析 $R \to 0$ 的极限。

先消元，把 $v$ 用 $q$ 表示：

$$ \begin{align*} I = \dot q &= \frac{vBL - \frac{q}{C}}{R} \ v &= \frac{\dot q R + \frac{q}{C}}{BL} \ \end{align*} $$

带回动量守恒：

$$ \begin{align*} Ft - qLB &= mv \ Ft - qLB &= m \frac{\dot q R + \frac{q}{C}}{BL} \ \frac{mR}{LB} \dot q + \left( \frac{m}{LBC} + LB \right)q - Ft &= 0 \ \end{align*} $$

只用把 $q$ 解出来就行了。

解

姜萍会偏微分方程，而这是一个简单的一阶常系数不齐次微分方程。

为了让式子不要太乱，我们其实就相当于解：

$$ A \dot q + B q = F t $$

某同学于是找物理竞赛同学借了一本《高等数学》，仔细研读了一节晚自习。

众所周知，解不齐次微分方程只需要用一个特解叠加上齐次方程的通解。

先来看通解，这个在导中有介绍。即先把 $Ft$ 当成 $0$：

$$ A \dot q + B q = 0 $$

解得 $q_h(t) = C_0\e^{-\frac{B}{A}t}$

然后只需要找一个特解，我们使用待定系数法，因为 $Ft$ 关于 $t$ 是一次的，所以应该假设 $q_p(t) = b_0 t + b_1$。带入：

$$ \begin{align*} A b_0 + B (b_0 t + b_1) &= F t \ (B b_0 - F) t + A b_0 + B b_1 &= 0 \ \end{align*} $$

故解得：

$$ \begin{cases} b_0 = \frac{F}{B} \ b_1 = -\frac{AF}{B^2} \ \end{cases} $$

即特解：$q_p(t) = \frac{F}{B} t - \frac{AF}{B^2}$。

然后叠加。

$$ \begin{align*} q(t) &= q_p(t) + q_h(t) \ &= \frac{F}{B}t - \frac{AF}{B^2} + C_0 \e^{-\frac{B}{A}t}\ \end{align*} $$

要满足初始条件 $q(0) = 0$：

$$ q(0) = - \frac{AF}{B^2} + C_0 = 0 $$

故 $C_0 = \frac{AF}{B^2}$。

最后带回来，这里 $A = \frac{mR}{LB}, B = \frac{m}{LBC} + LB$：

$$ q = \frac{F}{\frac{m}{LBC} + LB} t + \frac{\frac{mR}{LB} F}{\left( \frac{m}{LBC} + LB \right)^2}\left( \e^{-\frac{\frac{m}{LBC} + LB}{\frac{mR}{LB}} t} - 1 \right) $$

停停停。我们虽然是解出来了，但是这个有点太丑了。不过可以看出，当 $R=0$ 时，后面项就是 $0$，于是 $q = \frac{FLB}{m + L^2B^2C}t$ 很合理，也和上面推出来的吻合。

等

其实电容和杆子是有惊人的相似性的。

再看一眼动量守恒的式子：

$$ Ft - ILBt = mv - 0 $$

我们不妨把 $ILBt = qLB$ 当作电容的动量，这样刚好动量守恒：$Ft = mv + qLB$。

既然这样，不如假设电容有「等效质量」$M$ 和「等效速度」$u$，那么：

$$ Mu = qLB $$

为了让这个等效的质量速度有和谐美好的性质，$M$ 和 $u$ 可不能随便乱取，最好还要满足能量守恒：

$$ \frac12 Mu^2 = \frac12 CU^2 = \frac12 \frac{q^2}{C} $$

于是解得：

$$ \begin{cases} M = L^2B^2C \ u = \frac{q}{LBC} \ \end{cases} $$

豁然开朗啊。这个 $M = L^2B^2C$ 似曾相识。

甚至当 $u = v$ 的时候，相当于：

$$ \begin{align*} \frac{q}{LBC} &= v \ \frac{q}{C} &= vBL \ \end{align*} $$

恰好是稳态条件。所以下次再遇到一个电容加一个带初速度的杆子的时候，可以直接写出最终稳态时杆子速度 $v = \frac{mv_0}{m + L^2B^2C}$。

例

感谢成都七中二诊仿真考试供题。

如图所示，在水平面内有间距为 $d$ 的两根导轨平行放置。每根导轨由两段光滑的直金属杆组成，连接点 $O_1, O_2$ 分别由一小段绝缘材料平滑连接。在整个导轨区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为 $B$。在靠近 $A_1 A_2$ 处静止放置一根金属棒，$B_1, B_2$ 之间连接有电感为 $L$ 的线圈，$A_1, A_2$ 之间连接有电容值为 $C$ 的电容和阻值为 $R$ 的电阻。电容带有初始电量 $Q_0$，靠近 $A_2$ 的极板带正电。除电阻 $R$ 外，所有的导轨、金属棒和组件的电阻均忽略不计。导轨连接处的绝缘材料不会对金属棒的运动产生干扰。$O_1, O_2$ 左右两边的导轨均足够长。现闭合开关 S，金属棒开始运动。已知金属棒质量为 $m$（线圈中产生的自感电动势大小为 $E = L \frac{\Delta I}{\Delta t}$，简谐振动的周期为 $2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}}$）。

求金属棒第一次在 $O_1 A_1 A_2 O_2$ 区域达到稳定状态的速度；
求金属棒第一次经过 $O_1 O_2$ 到下一次经过 $O_1 O_2$ 经历的时间；
若有 $\frac{B^2 d^2 C}{m} = k > 1$，求金属杆第 $n$ 次经过 $O_1 O_2$ 时，电阻上消耗的总热量占电容初始储存能量的比例，用 $k$ 表示。

图大概：

          O1
  A1 +-----*----------+ B1
     |    |           |
   S \ .. | ......... |
     | .. | ......... $
   R # .. | ......... $ L
     | .. | ......... $
   C = .. | ......... | 
     |    |           |
  A2 +-----*----------+ B2
          O2

第一问口算 $v_0 = \frac{Q_0dB}{m + d^2B^2C}$。

第二问主要是注意到右边没有电阻，所以 $vBd = L\dot I$，积分就是 $xBd = LI$，所以 $I = \frac{xBd}{L}$，安培力 $F = \frac{xB^2d^2}{L}$，可以等效于弹簧振子。

第三问，出题老师这个 $\frac{B^2 d^2 C}{m} = k > 1$ 体现他深谙以上电容等效的道理。容易发现杆子的运动相当于每次在左侧与电容发生完全非弹性碰撞，然后在右侧速度反向。

假设在左侧的时候电容杆子速度共为 $v$，则去右侧后回来就是 $v' = \frac{kmv - mv}{km + m} = \frac{k-1}{k+1}v$，公比 $q = \frac{k-1}{k+1}$ 这就出来了，后面的随便做。

RC

考虑一个简单的 RC 串联电路。电容初始有 $q_0$ 的电荷量。可以列方程：

$$ \begin{gather*} I = \frac{U}{R} \ C = \frac{q}{U} \ I = - \dot q \ \end{gather*} $$

于是：

$$ \dot q + \frac{1}{RC} q = 0 $$

然后很显然可以看出。

$$ q = q_0 \e^{-\frac{1}{RC}t} $$

令 $\tau = RC$，量纲分析这个 $\tau$ 就是一个时间。$\tau$ 很有意义，比如 $q(\tau) = \frac{1}{\e} q_0$，恰好是电荷量变成初始 $\frac{1}{\e}$ 的时候。

好吧，更大的意义是就可以把上面 $q$ 写成：

$$ q = q_0 \e^{-\frac{t}{\tau}} $$

由此可见，理论上 RC 串联电路永远不会达到稳态。

简

我们现在可以来通过设一些比较有意义的常数把上面的 $q$ 化简了。就按照上面的，令：

$$ \begin{gather*} M = L^2B^2C \ u = \frac{q}{LBC} \ \end{gather*} $$

那么

$$ \begin{align*} q &= \frac{F}{\frac{m}{LBC} + LB} t + \frac{\frac{mR}{LB} F}{\left( \frac{m}{LBC} + LB \right)^2}\left( \e^{-\frac{\frac{m}{LBC} + LB}{\frac{mR}{LB}} t} - 1 \right) \ &= \frac{FLBC}{m + M}t + \frac{mRLBC^2F}{(m+M)^2}(\e^{-\frac{m + M}{mRC}t} - 1) \ \end{align*} $$

不妨令 $\tau = \frac{mRC}{m + M}$：

$$ \begin{align*} q &= \frac{LBCF}{m + M}t + \frac{LBCF\tau}{m+M}(\e^{-\frac{t}{\tau}} - 1) \ &= LBC\left( \frac{F}{m + M}t + \frac{F\tau}{m+M}(\e^{-\frac{t}{\tau}} - 1) \right) \ \end{align*} $$

那么：

$$ \begin{align*} u &= \frac{q}{LBC} \ &= \frac{F}{m + M} \left( t + \tau(\e^{-\frac{t}{\tau}} - 1) \right) \ \end{align*} $$

回过来求 $v$。别忘了，我们可以直接动量守恒：

$$ \begin{gather*} mv + Mu = Ft \ \begin{align*} v &= \frac{Ft - Mu}{m} \ &= \frac{Ft - M\frac{F}{m + M} \left( t + \tau(\e^{-\frac{t}{\tau}} - 1) \right)}{m} \ &= \frac{F}{m + M}\left(t - \frac{M}{m}\tau\left(\e^{-\frac{t}{\tau}} - 1\right)\right) \ \end{align*} \end{gather*} $$

好吧，其实挺美观的，不是吗。

那时间跟质量乘除有什么直观物理意义呢？不知道，也许让式子美观就是它的意义。

语文好题

Thu, 19 Feb 2026 00:00:00 GMT

寒假作业罢了。

很多东西是 OCR 的，OCR 工具是从依云老师的玩具项目改的。OCR 结果中间有莫名其妙的空格，但是应付一下得了。

绵阳二诊 A 卷

观点。

5.学校将以“物种进化是否存在过渡阶段”为辩题举行辩论赛。如果让你作为正方辩手，除了始祖鸟化石的证据外，你还可以从上述材料中找到哪些证据来支撑你方观点。（6分）

达尔文“已有功能改变”论：生物进化是旧结构逐步逐步演化出新用途的过程，能够表明过渡阶段的存在；（道理论据）
地质记录发掘存在局限：目前对地壳研究开采不全面，但未发现不等于不存在，因此不能以证据缺失否定过渡阶段的存在；（事实论据）
近缘物种现存特征：近缘种常混合生长，它们构造存在细微差异，这是亲种在进化过程中产生过渡类型的证据。（事实论据）

论点、论据、论证。论据包括道理论据和事实论据。

13.(1) 天其将亡予邪？不说吾过，极吾罪也。

难道是上天要使我灭亡吗？（因为）不指出我的过错，却尽数罗织我的罪名。

14.材料二中王充是如何用“屈原”的例子来证明“天用灾异遗告人”的观点是错误的。（3分）

将屈原与邹衍的冤屈程度和产生结果进行比较：邹衍只是被拘禁，屈原却是沉江殉国。屈原含冤而死，但楚国并无“夏口降霜”的灾异。
归谬结论若邹衍能“诚感降霜”，则屈原更应引发灾异，但历史事实并无记载。
因此，邹衍降霜的传说纯属虚妄，进而证明“天用灾异谴告人”之说站不住脚。

邹衍蒙冤入狱，盛夏时节仰天悲哭引发天降寒霜，后成为冤狱或冤情的经典喻体。

语境（cf. 2025 新二卷“思想境界”）。

祝英台近辛弃疾

……一瓢饮。人问翁爱飞泉，来寻个中静。绕屋生喧，怎做静中境？我眠君且归休，维摩方丈，待天女、散花时问。

16.有人认为“我眠君且归休”一句既贴合本词语境又反映了词人心境。请结合全词，简要分析。（6分）

贴合语境：此句照应词前小序“余醉，未及答”的这一场景，“我眠”呼应醉态，“君且归休”呼应“未及答”；同时是对前文“喧静之辩”的收束，既结束对话，又自然引出后文维摩典故 反映心境：表现出词人超然物外的闲适；同时，词人想结束对话，不愿再谈，暗含对对客问不当的不满，点明“心静则静”的主旨。

2025-2026 学年高三阶段性综合素质测评

教考结合。

2.下列对原文相关内容的分析和评价，不正确的一项是（3分）

A.文章前几段具有综述性质，对已有结论既有引述，又有评价。 B.文章第④段结尾的疑问是用类比暗示“五花马”得名于毛色。 C.文章展示的争议与《天文学上的旷世之争》有异曲同工之妙。 D.文章“新辨”“五花马”的过程，也是打破学科壁垒的过程。

名著阅读。

5.多是“妨主”的“凶马”的卢为什么变成了帮助刘备的“吉马”？请从《三国演义》塑造刘备这个人物形象的角度给出两种有解释力的说法并加以说明。（4分）

推动情节说。《三国演义》中，刘备此时不能死，凶马的卢助其脱险，有传奇性。
刘备天命说。《三国演义》中，刘备乃天命所归，天命使马“妨主”变“救主”。
刘备仁德说。《三国演义》中，刘备被塑为仁君，其仁德足以逢凶化吉，转恶为善。

观点。

14.材料二认为孔子对宰予的批评存在一些问题，请结合文本，简要说明。（3分）

批评标准的问题：以“大恶”责“小过”，违背《春秋》褒贬的原则；
逻辑矛盾的问题：若宰予性恶则不应入孔门，若性善则批评过重；
言行不一的问题：孔子认同“毋求备于一人”，却对宰予求全责备。

福建省九师联盟2025-2026学年高三上学期12月月考（过手训练 0123）

文学短评（cf. 2023 年高考题《给儿子》陈村）。

9.老师在指导同学们评价两个文本时，给出一组关键词：探索·价值。请结合文本谈谈你的理解。(6分)

（示例）：

两个文本提到诸多科学家对太空的探索，表达了作者的崇敬之意。文本一写到中外观测星空的仪器和成果，文本二写到张衡、伽利略对天体的观测，牛顿、爱因斯坦对宇宙规律的探索。
两个文本认识到宇宙的广阔永恒和人类的渺小短暂，进而思考人类的价值。文本一作者在面对群星时，感悟人的价值来自其自身输出光热。文本二指出人生虽然短暂，但在自己创造的事业中获得永生。

西江月

张孝祥

蕲体李君达才，当靖康、建炎之间，以诸生起兵河东，屡摧强敌，盖未知其事，重为感叹，赋此。

不识平原太守，向来水北山人。世间功业谩亏成。华发萧萧满镜。幸有田园故里，聊分风月江城。西湖西畔晚波平。袖手时来照影。

主语。诗歌写李达才借以表达自己。

黑龙江省九师联盟2026届高三上学期1月第5次质量检测（过手训练 0120）

教考结合。

5.文中认为建安军宣文学的核心任务是“占据正义”，而曹操的《短歌行》被视为政治宣传的代表作。请结合本文分析《短歌行》是如何体现这一特点的。（6分)

用悲情唤起情感共鸣：以对人生的忧思开篇，感慨时光流逝，引发年轻人对建功立业的向往，将个人抱负升华为时代使命。
用包容气度凝聚人心：以“山不厌高，海不厌深”的比喻感召天下，形成政治向心力。
以周公自况，将自身定位为求贤若渴、匡扶汉室的圣主，占领道义制高点。

李老师评：答案和“占据正义”不够切合。

观点。

司马迁认为“在彼不在此”，即“治理国家的关键在于道德，而不是严酷的刑法”。请结合材料二分析他是如何得出这样的结论的。(5分）

引用孔子和老子的观点，证明德的重要性。
举秦朝和汉朝不同的治理方法为例并将二者对比，证明德治胜于严酷的刑法。

常见论证方法：举例论证、道理论证、对比论证、比喻论证、引用论证。

词语辨析。

2025年9月以来，我国一些粮食主产区（包括陕西南部、山西南部、河南大部、山东大部、安徽淮北）降……

秋收连阴雨是指在秋季农作物（如玉米、棉花、大豆、水稻等)成熟收割关键期(通常为9月至10月)出……

文中加点的两个词语“包括”和“如”能否互换位置？请指出来并说明理由。（4分）

不能。“包括”：列举具体所致的部分，不能多，也不能少。“如”：表示举例，但所举的例子具有不确定性。

AI 注：

举例辨析：

（严谨） 参加人员包括张三、李四。（表示只有他们两人）

（举例） 参加人员如张三、李四。（表示还有其他人，只列举了这两个）

（重庆南开中学）重庆市高2026届高三第五次质量检测语文试卷（过手训练 0114）

教考结合。

5.从《祝福》《阿Q正传》《边城》《老人与海》中任选一篇，分析其如何体现本文第⑦段和第⑧段有关“对偶美学”的观点。（6分）

①第七段主要观点是小说中对比人物呈现出对立与融合的特点。②《边城》中大老沉稳，不擅长唱情歌，二老活泼，擅长唱情歌：性格迥异的两人都喜欢翠翠，彼此的对立在善良、真诚的性格底色上实现融合互补。

①第八段主要观点是小说的基本理念呈对偶特征。②《边城》中自然美、人情美、风俗美等美好和翠翠等人的悲剧形成对比：美好中潜藏着悲剧。

政宽则民慢，慢则纠之以猛；猛则民残，残则施之以宽。

下士以一言而敌还，以安社稷，其霸不亦宜乎？

政策宽厚，百姓就会轻慢（法令），百姓轻慢了，就用严厉（的手段）来纠正；政策严厉，百姓就会受到伤害，百姓受到伤害了，就再实行宽厚的（政策）
（楚庄王）谦恭地对待士人，凭借（他们）一句话就让敌人退兵，从而使国家安定，他称霸不也是应该的吗？

慢：轻慢。残：伤害。下：谦恭对待（eg. 礼贤下士）。

钱钟书在《谈艺录》中曾以“水中盐”喻诗中之理趣，认为其最高境界在于“体匿性存，无痕有味”。由此观之，诗中佳句的诞生，往往不是①的逻辑推演，而是一种②的灵感迸发。这种灵感，看似偶然，实则是诗人长久沉浸于文化传统与生活体验后，各种要素在脑海中的结晶。它要求诗人对前人成法既能入乎其内，如蜜蜂采蜜般广泛吸纳；又能出乎其外，③，最终酿造出自己的芬芳。正因如此，读者面对“无理而妙”的千古名句时，常会经历一种④的审美体验：初觉其有悖常理，细品之下，却发现它直抵人心深处更为本真的情理。

19.依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是(3分)

A.按部就班灵光一现别出心裁恍然大悟 B.循序渐进妙手偶得推陈出新豁然开朗 C.按部就班妙手偶得别出心裁茅塞顿开 D.循序渐进灵光一现推陈出新如梦初醒

答案：B

按部就班：按照条理步骤办事；现多指拘泥程序，缺乏创新(略带消极色彩)。
灵光一现：灵感突然闪现(强调瞬间性，不必然指向创作成果)。
别出心裁：独创一格，与众不同(侧重个人创意的新颖性）。
恍然大悟：一下子完全明白过来(强调认知上的突然领悟)。

循序渐进：按顺序逐步推进或提高(强调过程有序，含积极意味)。
妙手偶得：专指文艺创作中因偶然灵感得到精妙作品(强调成果的偶然性与艺术性)。
推陈出新：淘汰旧的，创造新的(强调新旧更替的变革性）。
豁然开朗：由昏暗狭窄突然开阔：比喻顿时领悟(侧重思想视野的打开)。

C. 茅塞顿开：忽然理解明白(多用于解开思想困惑，与“恍然大悟”近义)。

D. 如梦初醒：像刚醒梦：比喻从糊涂或错误中醒悟过来(侧重滞后性，常带修正错误的意味)。

河南省郑州市2026届高三上学期第一次质量预测

高难度现代文 1 选择题。

1.下列对原文相关内容的理解和分析，正确的一项是（3 分）

A.“乐而不淫，哀而不伤”体现了孔子节制情感表达的思想，其最终目的是维护礼教，维持社会政治秩序的稳定。

B.“乐而不淫，哀而不伤”是季札的审美观念与孔子“礼之用，和为贵”思想相融合的产物，寄寓着孔子对艺术情感快适度的思考。

C.“乐而不淫，哀而不伤”作为一种诗学观念，既对中国诗学影响深远，也催生了中国古典诗歌中含蓄蕴藉的艺术风格。

D.“乐而不淫，哀而不伤”之所以能为诗人如何获得艺术情感的快适度提供大体的答案，是因为它是一种有节制的、智慧的情感。

答案：D

A项于文无据，“其最终目的是维护礼教，维持社会政治秩序的稳定”有误。 B项曲解文意。“寄寓着孔子对艺术情感快适度的思考”有误。 C项“也催生了中国古典诗歌中含蓄蕴藉的艺术风格”理解有误，原文“与孔子的乐而不淫，哀而不伤’的诗学思想有密切的关系”并不意味着是“乐而不淫，哀而不伤”“催生”了中国古典诗歌中含蓄蕴藉的艺术风格。

2.下列对原文相关内容的分析和评价，不正确的一项是(3分）

A.“艺术情感的快适度”是指适宜的情感强度，只要在适宜的情感强度之内，即使是消极的情感也可以令人愉快。

B.孔子意识到“乐”有从适意到狂喜、“哀”有从惋惜到悲怆的不同级别，而“淫”和“伤”是二者不可突破的限度。

C.对艺术情感而言，如果它过分强烈，就会破坏情感快适度，抹去它与实际功利间的心理距离，导致审美心境完全丧失。

D.材料由评析“乐而不淫，哀而不伤”，到剖析“艺术情感快适度”，再到揭示“如何获取艺术情感快适度”，逻辑上层层深入。

答案：B

张冠李戴。“孔子意识到乐’有从适意到狂喜、哀’有从惋惜到悲怆的不同级别”有误，根据第③段中的“同样一种情感体验则又有强度的区别，例如，快乐可以从适意到狂喜，愤怒可以从微愠到暴怒，哀伤可以从惋惜到悲怆。孔子的乐而不淫，哀而不伤’实际上已意识到情感强度的区别”可知，“乐’有从适意到狂喜、哀’有从惋惜到悲怆的不同级别”是作者所举的例子，而非孔子意识到的内容。

审题。

4.作者认为“孔子的乐而不淫，哀而不伤’是对季札审美观念的继承和发挥”。请简要说明作者得出这种看法的推理过程。（4分）

继承，即相同点。发挥，即不同点。

季札对音乐有“乐而不淫”“哀而不愁”的评语，而孔子的“乐而不淫，哀而不伤”与季札的评语大同小异，因此孔子的话可视为对季札审美观念的继承。
季札“乐而不淫”“哀而不愁”等话语是用来评论音乐的，而孔子的“乐而不淫，哀而不伤”是用来评论诗歌的，评论对象发生了变化，因此孔子的话可视为对季札审美观念的发挥。

分点。

文本二：

法西斯侵略战争给我们民族的创伤太深了，给我们这一代人的影响也太大了，全面地记载这次战争是历史家的事。我只能从一个方面，一个学校，几个家庭，一些人物，来反映那山河都在动荡的时代。

（摘编自宗璞《我与（东藏记〉》）

文本三：

“纳须弥于芥子”，是宗璞先生的创作宗旨。所谓“纳须弥于芥子”的境界，正是一位惯看历史风云、曾经沧海的老作家的自我期许。宗璞将“野葫芦”自谦为“芥子”，里面的内容则为“须弥”。暗含着“器”虽小，包容的却是芸芸大千世界、渺渺宇宙之道。

（摘编自何英《（野葫芦引》：要在葫芦里装宇宙》）

9.宗璞的创作宗旨是“纳须弥于芥子”，请结合三则材料谈谈文本一是如何体现这一创作理念的。(6分)

CoT：

创作理念是什么？
“一个方面”：聚焦孟宅小家庭反映大战争。
“一个学校”（文中没提到）、“几个家庭”（一个）、“一些人物”（（主人公）个体 ⟹ 普遍性）

答案：

由文本二、三可知，“纳须弥于芥子”指“以一个学校、几个家庭、一些人物反映动荡时代”，用日常生活和普通平凡的人物，反映历史风云与宏大的社会面貌，实现“器小容大”。
文本一以孟宅这一小家庭中的家庭成员对宛平城开战的对话与反应，表现卢沟桥事变这一重大历史事件，以日常生活小场景反映大历史。
文本一以送冰人、送菜人、卫葑、碧初等不同阶层的普通人的生活言行，表现战乱初期社会各阶层的真实状态，以个体状况呈现整个民族的境遇。

2026届高三八省联考（T8）语文试题

李娟。

9.文本二提出“我正是这样慢慢地写啊写啊，才成为此刻的自己的”，请结合两则文本，谈谈李娟如何通过“慢慢地写”完成自我建构。（6分）

对阿勒泰当地的人和事展开书写，让作者确立了扎根“阿勒泰生活”的创作与生命方向，完成作品《我的阿勒泰》。
对补鞋老人等平凡生命个体的观察、思考和共情，让作者在困窘、迷茫、孤寂的生活中感到温暖，获得心灵的安定、精神的成长。
“慢慢地写”出经历过的牧区生活，让作者形成个人真实而真诚的文学风格。（？）

(1) 蠢然而蚁集，见物则争趋之，其何异于猴哉？

（士兵们）骚动紊乱，像蚂蚁一样聚集在一起，见到财物就争相追逐，他们和那些猴子又有什么区别呢？

广东省广州市2026届高三年级12月调研测试

戏剧。

田福贵（A）：谢什么谢？你们还不赶快转移到安全的地方去？赶快转移！

朱卉琪：你是三团的？李槐树：三团一营一连战士李槐树……（B）

田福贵（C）：如果像你说的演个节目能有这么大的作用，那就给每个红军战士发个木头匣子——哦，发个留声机得了，还要枪和手榴弹干吗？

田福贵（一怔）：你、你们……（D）我从一个赤卫队员干到红军营长，大小仗打过上百次啦，啥事儿没遇到过？可从来还没遇到过今天这么难完成的任务！

8.话剧剧本中圆括号里的舞台说明，或明确人物的动作，或提示人物的语气，或说明人物的心理……，请结合上下文，在剧本中A、B、C、D各处分别补出合理的舞台说明。（4分）

| | A 人物语气 | B 人物动作 | C 人物语气 | D 人物心理 | | ---- | ------ | ------ | ------ | ------ | | 舞台说明 | | | | |

A 焦急

B 责怪身体晃动

C 强忍疼痛嘲讽

D 既恼怒又无奈

9.作者为什么把留声机的“扔”与“留”设计为戏剧冲突？请结合文本简要分析。（6分）

符合舞台表演特点：“扔”与“留”的冲突设计，使矛盾迅速聚焦，剧情紧凑，易于在有限舞台时空展开；强化动作与对抗，视觉性强，适合舞台呈现；通过争执、冲突，人物形象更鲜明立体。
凸显作者创作意图：留声机象征精神武器与革命信念，“扔”与“留”的冲突突显了文艺与信念在革命斗争中的重要作用。（主旨）

文。

13.(2) 宾散，言无所遗失，岳抚其肩曰：“若斯文不绝，其在尔乎。”

宾客散去后，沈麟士复述所听内容，没有丝毫遗漏，沈岳拍着他的肩膀说：“如果沈家的文脉不会断绝，恐怕就在你吧。”

四川省成都市部分中学2026届高三上学期期中考试（过手训练 1129）

8.小说多次出现"半个头"“一个头"“一马之遥"等表示距离的词，这样写有怎样的艺术效果 (6分)

CoT：

总共 11 次出现。

1-4：“半个头”⟹ 群马奋蹄竞技 ⟹ 场面热烈紧张。
5-8：“半”→“一”⟹ 日尕爆发力、耐力。
9-11：“半”“一”“整”⟹ 日尕领先，胜利。（排比）

答案：

营造激烈紧张的比赛氛围；
突出日尕的卓越实力、坚韧品质和不凡智慧；
增强叙事的节奏感，强化场景的画面感与代入感。

13.(2) 彼岂必有抟虎之力，射雕之技哉？不过深明古今之事，能决机宜之便耳。

他们难道一定有搏虎的力气、射落大雕的技艺吗？只不过是深刻通晓古今的事理，能够判断时机和事务的适宜之处罢了。

成实外教育集团高 2023 级高三 12 月联考

心境（cf. 2025 新二卷“思想境界”）。

辋口遇雨忆终南山因献王维

裴迪

积雨晦空曲，平沙灭浮彩。辋水去悠悠，南山复何在？

答裴迪忆终南山

王维

淼淼寒流广，苍苍秋雨晦。君问终南山，心知白云外。

16.在此次唱和中，裴迪与王维的心境有何不同？请结合诗歌内容简要分析。（6分）

CoT：

裴诗：主观情感与环境交融，积雨、灭浮彩暗示心情低沉（季节不好、天气不好）。“南山复何在”问终南山（往日生活怀念，人生方向迷茫），也问终南山之人（对友人王维的思念）。
王诗：苍茫浩大的景象。晦暗秋雨不过自然之理。自然本就如此，表现出超脱、淡然、随缘的心境。

答案：

裴迪的心境：迷惘与追寻。以“晦”“灭”二字展现昏暗的景象，而“南山复何在”的疑问，则流露出因眼前之景而产生的迷惘，以及对精神归宿的追寻。
王维的心境：豁达与通透。以“淼淼”“苍苍”两个叠词勾勒出苍茫宏阔的意境，后以“心知自云外”作答，表明“终南山”是内心的精神象征，体现其超然物外的豁达与通透。

终南山：

归隐之所。
终南捷径：唐代盧藏用舉進士，然不受重用，遂隱居終南山以求高名，後果被召任官的故事。見《新唐書．卷一二三．盧藏用傳》。後用於比喻求官或求名利的便捷途徑。
佛→禅理→生命自如的状态。

成都七中 2025—2026 学年度上期高 2026 届一诊模拟考试

人称。

8.文本一多次出现“你爷爷”“你奶奶” 这样的表述，产生了怎样的叙述效果？请简要分析。（6 分）

用“父亲” 的视角讲述祖辈和父辈的故事：使讲述更有对话感、更加真实
串联故事：串联起了爷爷、父亲和“我” 三个人的故事，叙述更立体全面。
深化主题：由赞扬祖辈父辈的革命精神到凸显精神的传承。

新高考教学教研联盟2026届高三年级12月联考（过手训练 1202）

研究方法。

5.为深入解读青年的“躺平”心态，作者采用了哪些研究方法？请根据文本概括。（6分）

调查采访获取第一手资料。
查找文献（引用学者观点）作为理论参考。
分析“躺平”的心理动机和语义流变。（？）
追溯“躺平”心态的民族文化根源。（？）

史论文。

14.材料二属于史论文。如果将材料一视为材料二第一段的唯一史料来源，那么材料二第一段中的哪些论断是没有事实根据，或者与史料矛盾的？请简要概括。 (5 分)

材料二认为老人的意图不在于授予张良书籍，这一论断与史料矛盾。材料一记载老人说“读此则为王者师矣”，可见老人对授予书籍十分重视。
材料二认为老人为张良从前的冒险举动而惋惜，这一论断没有事实根据。材料一没有证据表明老人知道张良的身份或事迹。
材料二认为老人有意“深折其少年刚锐之气，使之忍小忿而就大谋”，这一论断没有根据。
材料二认为张良面对老人的无礼举动能够心平气和， “油然而不怪”，这一论断与史料矛盾。材料一记载： “良鄂然，欲殴之”“强忍”。

语感。

林黛玉这样说话，是她的性格() ；除此之外，林黛玉作为贵族少女，如果直接指责贾宝玉() 有失身份，使用双关修辞旁敲侧击，则显得含蓄、得体；

21.依次填入文中括号内的词语，全都恰当的一项是(3 分) ( ) A. 使然难免 B. 使然不免 C. 所致难免 D. 所致不免

B。

出题人说：“所致”往往是消极的；“难免”带有同情、体量的意味，“不免”则没有同情意味，仅表示委婉语气。

四川省 2025-2026 学年高三一轮复习阶段性测评

9.作者认为“他们不问亲疏，不问恩怨，甚至不问人畜，都成了彼此最后的依靠”，请结合文本，谈谈你对这句话的理解。

不依靠子女，不计较恩怨，将邻居和牲畜作为重要的情感寄托。
三个“不问” 由人到物，层层递进，体现了依靠对象的扩大。
群体间的相互依靠，是村民们对抗孤独的一种方式，展现了乡土社会中人情的温暖与生命的坚韧。

元旦

Thu, 01 Jan 2026 00:00:00 GMT

2024 年末，我在重庆，在八中集训。

下午八中就放学了。热情的广东学校教练带着我们去八中旁边的徐鼎盛吃饭。

广东的孩子，平日饮食和川渝这边风格大不一样，没吃几道菜就辣的不行。我虽是四川的，平日里吃辣也不太行，吃的面红耳赤，嘴皮子发烫。

孤僻的信竞选手不善于人际交往，这一桌里头，竟没一个能认识一下。这就是 00 后的饭局吧：不必要谈点什么，敬杯酒；只需糊里糊涂吃点什么，看看手机，就过去了。

大家一起回到酒店，电梯装不下这么多人，走幽黑的楼梯上楼。闲人干点什么，玩玩游戏，跨个年。

我打开 B 站直播——这还是我第一次认真看 B 站的跨年晚会。

元旦前一段时间，八中还有午饭晚饭时间在食堂前的表演活动。现场就能报名献唱，高一到高三，甚至有老师都有参加的。真是——八中学生多才多艺。一顿饭的时间，就能听到三四首周杰伦的歌。音乐声音飘扬，晚饭后在机房都能听到，机房大家常常指指点点，但都没有人真的去唱的。

我理解不了那些勇敢唱歌的人，像八中的中饭晚饭唱歌的人，NOI 及 WC 文艺演出表演的人。或许人内心深处还是希望表现自己的，可惜既没有歌喉，更没有勇气。

下楼去超市买两包薯片，两瓶可乐。是夜晚十一点左右。酒店旁的便利店还二十四小时营着业。深夜的重庆，寒风徐徐吹过，街上少有行人。匆匆回到酒店，不知心中是冷还是暖。

叶总爱玩杀戮尖塔，我玩玩 Hypixel，看看 B 站晚会。然后就跨年了。

莫名想起哭泣少女乐队。仁菜只身一人来到川崎。有点梦想，更有现实逼迫无奈。寄居他乡、孤立无援。她站在漆黑的房屋中央，手里拿着新的电灯泡，伸出手，却搆不着。

重庆的集训强度很大。我头一次感觉，原来停掉文化课集训竞赛，应该这么训。先前在成外，确实太悠闲了。

后来去了冬令营，后来又在八中训了一段时间，后来省选挂了。

2025 末，我就在成外。

回归文化课居然已有九个月。开始时觉得天塌了，后来也觉得没什么，很长一段时间没有写过代码了。文化课成绩大概还可以，但远比不上班上如 ckq 之类人，他竞赛回来不久就能年级第 9，太可怕了。

下午我骑着自行车，去绿道骑了一下午。好久没有这样骑了。冬天，风刮得很冷，下巴吹的麻，还有流鼻涕。

骑到哪里是次要的。上坡、下坡、上坡、下坡。只管前进。

有时停下来，看看桥下小河，道旁湖泊。人还是应该多亲近大自然。

绿道旁是一个纺织专科学校。这里的学生其实也就比我大几岁吧。

晚上不知道干什么，就是无所事事，也没看什么节目。能听到烟花声音，也算是跨年仪式了。

明年的我会在哪里？

测电阻

Sat, 08 Nov 2025 00:00:00 GMT

伏安法测量电阻，根据电压表所测范围是否包含电流表，可以分为内接法和外置法。

如图，左边是内接法，右边是外置法。由于我确实不知道内外置的英文叫什么😅，姑且用 i(nner) 表示内接，o(uter) 表示外置。

众所周知，内接测量出来的电阻：

$$ R_i = R_x + R_A $$

外置的：

$$ R_o = \frac{R_xR_V}{R_x+R_V} $$

大内小外

我们希望比较内接和外置的误差，可以比较相对误差。内接是：

$$ \eta_i = \frac{R_i-R_x}{R_x} = \frac{R_A}{R_x} $$

外置：

$$ \eta_o = \frac{R_x-R_o}{R_x} = \frac{R_x}{R_x+R_V} $$

当内接优于外置的时候，即：

$$ \begin{aligned} \eta_i &< \eta_o \ \frac{R_A}{R_x} &< \frac{R_x}{R_x+R_V} \ R_A(R_x+R_V) &< R_x^2 \end{aligned} $$

即应该比较 $R_A(R_x+R_V)$ 和 $R_x^2$ 的大小关系。不过正常来说，$R_V$ 应该比 $R_x$ 大很多，干脆把 $R_x+R_V$ 当成 $R_V$，所以就有了我们背的 $\sqrt{R_AR_V}$ 和 $R_x$ 比大小。

根据测量数据选择内外置

测量未知电阻，内接法测出 $U_i = 1.75\text{V}, I_i = 0.33\text{A}$，外置法测出 $U_o = 1.65\text{V}, I_o = 0.34\text{A}$，问应该使用内接还是外置？

正确解法是：认为内接的 $I_i$ 是准的，外置的 $U_o$ 是准的，于是内接的 $U$ 相对误差为 $0.1/1.65=2/33$，外置的 $I$ 相对误差是 $0.01/0.33=1/33$，所以电流表变化较小，更精准，因此选用外置。

有点不好理解，有人会问：$U$ 和 $I$，计算电阻的时候，一个在分子，一个在分母，两个怎么能直接比较相对误差呢？比如 $1/0.1=10$，分子差 $1%$ 是 $1.01/0.1 = 10.1$，分母差 $1%$ 则是 $1/0.101\approx 9.901$。貌似不太一样，能不能比较精确地分析呢。

令 $R_i = U_i/I_i$，$R_o = U_o/I_o$，根据众所周知，有：

$$ \begin{aligned} \frac{1}{R_x + R_A} &= \frac{1}{R_i} \ \frac{1}{R_x} + \frac{1}{R_V} &= \frac{1}{R_o} \ \end{aligned} $$

两个方程三个未知数，肯定解不了。假设 $R_A$ 已知，则可以消元：

$$ \begin{aligned} R_x &= R_i-R_A \ R_V &= \frac{R_xR_o}{R_x-R_o} = \frac{R_o(R_i-R_A)}{R_i-R_A-R_o}\ \end{aligned} $$

注意：这里头分母带减法了，分母可能为 0。但此时，$R_x = R_o$，说明外置绝对精确，$R_V$ 当作无穷大，就是理想电表，其实很合理。

带到大内小外的判别式里头（sympy 算的）：

$$ R_A(R_x+R_V) - R_x^2 = \frac{\left(R_{A} - R_{i}\right)^{2} \left(2 R_{A} - R_{i} + R_{o}\right)}{R_{i} - R_{A} - R_{o}} $$

居然可以因式分解！不考虑分母为 0 的情况，由于小外偏小，分母一定正。所以我们得到：

当 $R_A = R_i$ 的时候，呃，相当于 $R_x = 0$ 了，内外置都可以。
当 $R_A < \frac{R_i - R_o}{2}$ 的时候，用内接。等于皆可。大于外置。

太神奇了。

假如说我们知道的是 $R_V$，同样的方法：

$$ \begin{aligned} R_x &= \frac{R_VR_o}{R_V-R_o} \ R_A &= R_i - R_x = \frac{R_iR_V - R_iR_o - R_VR_o}{R_V - R_o}\ \end{aligned} $$

由于小外偏小，$R_V-R_o$ 肯定大于 0。

不用算判别式了，直接带上面的结论，内接更好时：

$$ R_{A} = \frac{R_iR_V - R_iR_o - R_VR_o}{R_V - R_o} < \frac{R_i - R_o}{2} $$

解得，$R_V < \frac{(R_i+R_o)R_o}{R_i-R_o}$。

但是，我们其实还有信息没用完。由于内外置测量的时候都是同一个电源（$E,r$），我们可以写出闭合电路欧姆定律：

$$ E = I_o(r+R_A+R_o) = U_i\left(\frac{1}{R_V} + \frac{1}{R_i}\right)r + U_i $$

多了 $r$ 这一个自由元，也多了一个方程，什么都解不了。

先考虑 $r=0$ 的简单情况，即：

$$ I_o\left(R_A + R_o\right) = U_i $$

解得：

$$ R_A = \frac{U_i}{I_o} - R_o = \frac{U_i - U_o}{I_o} $$

带入数据算得：$R_A \approx 0.294 > (R_i - R_o) / 2 \approx 0.225$，所以外置👍。

对于 $r > 0$……

有亿点💩：

from sympy import *
init_printing()

Ui,Ii,Uo,Io,r,RV,RA,Rx = symbols("U_i, I_i, U_o, I_o, r, R_V, R_A, R_x", positive=True)
Ri = Ui/Ii
Ro = Uo/Io
eq1 = Io*(r+RA+Ro) - (Ui*(1/RV + 1/Ri)*r+Ui)
eq2 = 1/Ro - (1/Rx+1/RV)
eq3 = Ri - (Rx + RA)

sol = solve([eq1, eq2, eq3], [RV, RA, Rx])

for RV_sol, RA_sol, Rx_sol in sol:
    D = sympify(RA_sol*(RV_sol + Rx_sol) - Rx_sol**2)
    print(D)

结果大家自己跑吧😊。

附

绘制电路图代码：

\documentclass{standalone}
\usepackage[european]{circuitikz}
\begin{document}

\begin{circuitikz}
  \draw
  (0, 0) to[battery1] (2, 0) to[switch] (4, 0)
  (0, 0) to (0, 1)
         to[R=$R_x$] (2, 1)
         to[ammeter={$I,R_{A}$}] (4, 1)
         to (4, 0)
  (0, 1) to (0, 2.5)
         to[voltmeter={$U,R_{V}$}] (4, 2.5)
         to (4, 1);

  \draw
  (5, 0) to[battery1] (7, 0) to[switch] (9, 0)
  (5, 0) to (5, 1)
         to[R=$R_x$] (7, 1)
         to[ammeter={$I,R_{A}$}] (9, 1)
         to (9, 0)
  (5, 1) to (5, 2.5)
         to[voltmeter={$U,R_{V}$}] (7, 2.5)
         to (7, 1);
\end{circuitikz}

\end{document}

四川省高考報名截圖技巧

Sun, 26 Oct 2025 00:00:00 GMT

首先登錄高考報名網站：https://zhbm.sceea.cn。

學校要求截圖打印高考報名填寫信息，但是網頁做的很💩，截圖比較麻煩。

簡單分析可以發現其 url 形如：

https://zhbm.sceea.cn/#/redirect/iframeMethod?url=https://zhbm.sceea.cn/scgkks/h5/index.html?hideHeader=1&hideFooter=1#/sso

明顯是網頁上下加了一個 nav 和 footer，中間夾一個實際內容的 iframe，我們只需要截 iframe 其實就夠了。顯然 iframeMethod?url= 後面的就是 iframe 實際內容。至於後面的 #/sso，這顯然是用某種 spa router 的時候更新頁面沒有更新 location，不要管他就行了。

具體進入：

https://zhbm.sceea.cn/scgkks/h5/index.html?hideHeader=1&hideFooter=1#/xgk/ybmInfo?index=1

就是所需的高考信息頁。左邊的 navigation drawer 可以收掉。然後 C-p 可以打印成 pdf，注意調整紙張大小以及方向，效果大概如圖：

但是這個 print 效果確實有點差。有人可能希望截圖。

大部分瀏覽器都有直接截全頁的功能，很貼心。但直接截圖的產物和電腦分辨率有關，往往不適合打印，如何產生高分辨率的截圖呢？

以 Firefox 爲例，Chormium 的應該差不多。首先 F12，有一個 Responsive Design Mode，對的就是那個模擬手機屏幕的功能。

添加一個自定義設備：寬度 1920 夠了，高度根據自己需要截取的內容大小調，關鍵的是這個 Device Pixel Ratio(DPR)，指的是瀏覽器會用幾個真實像素來渲染一個邏輯像素。比如 DPR=4，則瀏覽器會用 4x4 個像素來渲染一個像素，這樣得到的圖像更加精細。比如我設置 DPR=4，這樣可以得到 7680x4320 的超高清截屏。

最後選用這個自定義設備，然後截圖。

但這個截圖就不要用 Firefox 右鍵那個了。用頂欄（地址欄下方的欄）右側有一個 Take a screenshot of the viewport。它雖然不能截全圖，但是我們可以改設備的高度。比如高考報名頁面 1200px 高度差不多能裝下所有內容。

對於 Chromium，用 DevTools 裏頭的截圖，Ctrl-Shift+P 後有個 Capture full size screenshot。

最後能得到放大放大再放大連個羽毛都看的清清楚楚的高清大圖。👍

国家网络安全周

Sat, 20 Sep 2025 00:00:00 GMT

这几周是「国家网络安全宣传周」。许多上了川大网络安全少年班班，网络安全是干什么呢？我不知道。我只会玩电脑🤪，给大家讲点玩电脑基本常识。

我想起在初一还是初二的时候，我们小组要讲一个网络安全主题班会。我给大家介绍了 HTTPS 和 RSA 相关内容，结果 RSA 讲到一半就给 cyb 叫停了😭️。

但是这里我想介绍什么就介绍什么。

RSA

假如 Alice 和 Bob 希望通信，但是两人之间的信道是公开的，任何人都能知道 Alice 和 Bob 交换了什么信息。那么 Alice 和 Bob 还有有办法加密通信吗？

有的兄弟有的。假设是 Bob 要给 Alice 发消息。Alice 先生成一对密钥，具体操作如下（以下内容中红色表示被公开的信息，当然整个算法也是被公开的）：

选一对大素数 $p$ 和 $q$。
题外话，如果你也希望生成一个大素数的话，可以使用：openssl prime -generate -bits <位数>。比如 openssl prime -generate -bits 1024 就能生成一个 1024 位（二进制位）的素数。以前我写字符串哈希的时候喜欢这样干，不过后来有人告诉我固定大素数模数然后运行时随机 base 更能防 hack。
令 $n=pq$。
计算 $r = \varphi(n) = \varphi(p) \varphi(q) = (p-1)(q-1)$。
随便选一个在 $\bmod r$ 意义下有逆元的数 $e$（也即 $\gcd(r,e)=1, 1 < e < r$，很多时候用的是 $65537=2^{16}+1$）。
计算 $e$ 的在 $\bmod r$ 意义下的乘法逆元，记作 $d$。
然后将 $\textcolor{red}{(n,e)}$ 公开，这是公钥，$(n,d)$ 自己保管好，这是解密用的私钥。

Bob 现在知道了 Alice 公开的 $\textcolor{red}{(n,e)}$，他有一段想要偷偷发给 Alice 的信息 $t$，那么他只需要将 $\textcolor{red}{c} \equiv t^{\textcolor{red}{e}} \pmod {\textcolor{red}{n}}$ 发给 Alice。

最后 Alice 只需要解密消息，计算 $t \equiv \textcolor{red}{c}^d \pmod {\textcolor{red}{n}}$，便得到了 $t$。其原理是 $c^d \equiv \left(t^e\right)^d \equiv t^{ed} \equiv t^{ed \bmod \varphi(p)} \equiv t \pmod n$，即欧拉定理。

那么安全性怎么保证？这个也叫做 RSA Problem：已知 $e$，$n$，$c \equiv t^e \pmod n$，求 $t$。虽然和质因数分解不等价，但是目前比较好的解决方法也只有分解 N。所以 RSA 的安全性很大程度上依赖于质因数分解。然而质因数分解目前没有多项式复杂度算法，所以想要分解长达 2048 甚至 4096 位的 $n$，几乎是不可能的。

但是，RSA 运算太慢了，如今大家聊天软件中随随便便就传个几 MB 甚至 GB 级别的文档，RSA 的速度无法接受。于是一个好的方案是，随机生成一份强密码，将这个密码用 RSA 传输，具体的消息传递用更快速的对称加密，如 AES 等。

Diffie–Hellman

这是一个专门用于交换密钥的算法。

Alice 和 Bob 公开选一个素数 $\textcolor{red}{p}$ 和其一个原根 $\textcolor{red}{g}$。
Alice 随机选一个私钥 $a$，计算公钥 $\textcolor{red}{A} \equiv \textcolor{red}{g}^a \pmod{\textcolor{red}{p}}$，并公开。
Bob 也同理随机选一个私钥 $b$，计算公钥 $\textcolor{red}{B} \equiv \textcolor{red}{g}^b \pmod{\textcolor{red}{p}}$，并公开。
$K \equiv \textcolor{red}{B}^a \equiv \textcolor{red}{A}^b \equiv \textcolor{red}{g}^{ab} \pmod{\textcolor{red}{p}}$，这就是双方协商出来的密钥。

然后就可以拿这个 $K$ 去对称加密通信了。

安全性在于想从计算 $A$ 和 $B$ 计算出 $K$，需要解出 $a$ 或 $b$，但这是离散对数问题，目前没有多项式复杂度算法。

椭圆曲线

椭圆曲线不是圆锥曲线，而是类似 $y^2 = x^3 + ax + b$ 的曲线。在 $\bmod p$ 意义下椭圆曲在线的点可以定义加法乘法。所以自然能想到把上面这些算法搬到椭圆曲在线。

好处是椭圆曲线离散对数问题比 RSA 更难一点，因此用更短的密钥能达到同等的安全性。

签名

非对称加密还有一个用途就是用于签名，其实相当于将 RSA 逆用，RSA 的公钥私钥有明显的对称性。

Alice 有一对 RSA 公私钥，然后又发布了一条消息，怎么证明这条消息确实是 Alice 发布的？

Alice 只需要将这条消息的 hash 值用自己的私钥加密得到 h，然后将其公布。

如果你能用 Alice 的公钥，将 h 解密得到正确的 hash 值，那么就能证明 Alice 极可能有 RSA 私钥。道理和之前的 RSA 通信是一样的。

密钥代表人吗？

上面的过程依赖一件事情，Alice 发布的密钥真的是 Alice 发布的。不安全的信道里，很可能有不法分子在中途篡改 Alice 的消息，导致在最初传递密钥的时候就出错了。后面一切的加密都白搭。

所以怎么办呢，没有好的办法。

一个想法是，不要用不安全的信道传输消息。比如 Alice 和 Bob 可以线下碰头，相互交换密钥，这样安全性会高很多。

但是问题来了，线下碰头成本太高了。并非只有人与人交流才有加密的需求，很多时候你访问网站，确认网站发送的消息真的是网站发送的，保持一定的保密性，同样很重要。结果很荒唐了，本来是为连接世界的互联网，结果为了保证绝对安全，只在线下可以接触的地方互联，真是互联了个寂寞。

还有想法是，创建权威的证书颁发机构，也就是 CA。大体思想是 CA 帮你验证了很多网站的证书合法性，如果你相信 CA 的话，那就相信这些网站吧。但是创建权威的 CA 本身比较中心化，而且很可能有可信度问题。

但至少在这个层面上，人们往往愿意用隐私换取便利。

量子计算机

Shor 算法可以多项式复杂度内分解质因数。所以随着量子计算机的发展，所以上面提到的 RSA、DH，以及他们的椭圆曲线版本，在几十年后都很可能失效。

好在人类还是发明了一些足以应对量子计算的加密算法，什么 Kyber 之类，但是我不会😵‍💫。

所以，到这里，如果暂时不管量子计算机的话，你可以发现，通过上面的加密手段，设计一个安全的代理、一个安全的通信软件、安全的存放文档，其实都不难，并且这样的技术已经相当成熟了。

这是数学，永远是对的。

加密与犯罪

加密技术既能维护用户隐私安全，又可能被恶意分子滥用。警方无法从端到端加密软件中获取情报。那么政府应该禁止这种端到端的通信软件吗？这是目前很多国家还在争议的话题。

我认为不应该。

这种软件实现上并不困难。加密算法一旦公开，边难以收回。政府封锁往往只会让守法公民受限，而犯罪分子猖獗。
保护公民隐私，防止信息泄露，对于打击电信诈骗也有积极意义。
很多人认为通信隐私权属于基本人权。

密码管理

但是这些东西很大程度上依赖于用户的密码，假如说加密用的密码是 123456，那上面的一切加密都白搭了。

因此我特别推荐用密码管理器，我用的是 KeePass，东西放在本地比放在云端安全一点。多用复杂随机生成的密码，然后自己只需要记忆一个强的主密码就行了。

上游

然而，有太多事情是你掌控不了的。比如你用的 Firefox 或者 Chromium，几千万行代码，可能没有漏洞吗？于是安全性其实是创建在上亿行你从来没有看过，也不可能看过的代码之上。开源软件虽然给了人们阅读甚至自己修改代码的自由，但是不等于安全。而人们倾向于相信有更专业的人已经审阅过了，便无条件相信。况且，对于 99% 以上的人来说，也只能无条件相信，毕竟想要编译 Firefox 都是要有一定水平的。

Linus's law 说：given enough eyeballs, all bugs are shallow。但是真的有 enough eyeballs 吗？最后网络安全的大厦落在了极少数默默无闻开发者的良心上。

开源软件的开发不应该只是慈善事业。

用户应该有「不安全」的自由

这个「安全」打引号。

除了这些开源软件尚且可以看一看源代码，人们每天还依赖很多闭源商业公司产品，比如手机，户晨风最喜欢的苹果，其操作系统本来就是封闭的，许多 Android 手机的厂商定制系统也是封闭的。它们面向的客户 99% 不懂技术，它们也不希望用户懂技术。

打着安全的旗号，为你好，无非只是希望你少用竞争对手的产品，为自己更好地谋求利益罢了。

当然也不只是商业公司。

线下真实

网络安全到最后，大道至简，竟是社会工程学。技术绝对不是万能的，很多时候安全问题不止在数学和算法。

前面这么多这么牛的加密方法，真的有用吗？

应当明确一点，加密≠没有特征。所以不需要能够解密你的加密数据，只需看出你的数据是刻意加过密的，便知道你很可能心里有鬼。所以优秀的代理软件往往会倾向于模仿正常流量，以免被注意。

如果有一天，刀子就架在你的脖子上了，到底是你的数据隐私重要，还是生命重要，只有你自己知道。

幂

Sat, 13 Sep 2025 00:00:00 GMT

大量~~抄袭~~参考 Wikipedia，这下成搬运工了。

作为对与导的补充。

叶总说这一步不对：

$$ \def\x{\textcolor{red}{x}}

\begin{aligned} \e^{\x} &= \lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac1n\right)^{n\x} \ &= \lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^{n\x} \binom{n\x}{i} \frac{1}{n^i} \ &= \lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^{n\x} \frac{\x^{i}}{i!} \ &= \boxed{\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\x^i}{i!}} \ \end{aligned} $$

因为 $nx$ 并不是整数，直接展开相当于用到了广义二项式定理，就有循环论证的嫌疑了。

仔细想来，高中似乎并没有讲怎么处理实数幂次，甚至连明确的定义都没有。空中楼阁，怎么都不可能证出来的。

所以我们要从幂的定义开始研究起。

但是我不会实分析。

Z Q

首先，当指数 $n$ 是整数的时候：

$$ b^n = \underbrace{b \times b \times b \cdots \times b}_{\text{$n$ 个 $b$}} $$

完全可以理解。我们还有指数的乘法规则：

$$ \def\n{\textcolor{red}{n}} \def\m{\textcolor{blue}{m}}

\begin{aligned} b^{\n} \times b^{\m} &= \underbrace{b \times \cdots \times b}{\text{$\n$ 个 $b$}} \times \underbrace{b \times \cdots \times b}{\text{$\m$ 个 $b$}} \ &= \underbrace{b \times \cdots \times b}_{\text{$(\n + \m)$ 个 $b$}} \ &= b^{\n + \m} \end{aligned} $$

当 $b \ne 0$ 时，由于 $b^0 \times b^n = b^{0+n} = b^n$，所以 $b^0 = 1$。

也容易得到 $\left(b^n\right)^m = b^{nm}$。

定义 $b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{b}$ 为唯一的非负实数 $y$ 满足 $y^{n} = b$。

然后由 $\left(b^n\right)^m = b^{nm}$，整个有理数上的定义就很容易了。

R

这确实是一个巨大的飞跃。一个简单的想法是，定义：

$$ \boxed{ b^{x} = \lim_{r(\in \mathbb{Q}) \to x} b^{r} } $$

看着就特别对😊️。

题外话，在做题的时候经常会遇到这种抽象函数问题 $f(x+y) = f(x)f(y)$。如果我们设 $f(1) = a$，那么可以得到在 $n \in \mathbb{Z}$ 时候，$f(n) = a^n$，然后就能容易得到 $r \in \mathbb{Q}$ 的时候 $f(r) = a^r$。

但是对于 $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$，$f(x) = a^r$ 却不一定，除非有 $f(x)$ 连续的条件。

好消息是还有其他定义方法。

我们定义 $\exp(x)$ 为：

$$ \boxed{ \def\x{\textcolor{red}{x}} \exp(\x) = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{\x}{n}\right)^{n} } $$

可以知道 $\exp(0) = 1$，$\exp(1) = \e$。

这里指数上的 $n$ 可以理解为数列极限，当成整数，可以放心用二项式定理展😋️。

$$ \boxed{ \def\x{\textcolor{red}{x}} \exp(\x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\x^i}{i} } $$

$\exp(x)$ 满足上面说的指数乘法规则：

$$ \def\x{\textcolor{red}{x}} \def\y{\textcolor{blue}{y}}

\begin{aligned} \exp(\x)\exp(\y) &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{\x}{n}\right)^n \left(1 + \frac{\y}{n}\right)^n \ &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{\x}{n} + \frac{\y}{n} + \frac{\x\y}{n^2}\right)^n \ \end{aligned} $$

$\frac{xy}{n^2}$ 高端无穷小，忽略掉：

$$ \def\x{\textcolor{red}{x}} \def\y{\textcolor{blue}{y}}

\boxed{ \begin{aligned} \exp(\x)\exp(\y) &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{\x + \y}{n}\right)^n \ &= \exp(\x + \y) \ \end{aligned} } $$

然后很容易就得到在 $x \in \mathbb{Q}$ 的时候，$\exp(x) = \e^x$。

因为：

$$ \lim_{x \to 0} \exp(x) = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2} + \cdots = 1 $$

所以对于一个 $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$：

$$ \begin{aligned} \exp(x) &= \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} \exp(r) \exp(r-x) \ &= \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} \exp(r) \ \end{aligned} $$

符合上面那个定义，所以我们可以认为在 $\mathbb R$ 里头，$\exp(x)$ 就是我们想要的 $\e^x$。

然后就是已经在导中已经阐述的，定义 $\ln x$ 为 $\exp(x)$ 的反函数，最终就能定义：

$$ \boxed{ b^x = \exp(x\ln b) = \e^{x\ln b} } $$

C

$\e^x$ 自然能扩展到 $\mathbb C$ 上面。根据欧拉公式：

$$ e^{\i x} = \cos x + \i \sin x $$

所以可以容易得到：

$$ \boxed{ b^{x + \i y} = b^x[\cos(y\ln b) + \i \sin(y\ln b)] } $$

还可以算对数：

$$ \boxed{ \ln z = \ln r + \i (\theta + 2k\pi)\quad (k \in \mathbb Z) } $$

其中 $r$ 是 $z$ 的模长，$\theta$ 是 $z$ 的幅角。

底数是 $\mathbb C$ 的怎么办呢？

$$ \begin{aligned} z^{a+b\i} &= \e^{(a+b\i) \ln z} \ &= \e^{(a+b\i)[\ln |z| + i(\theta + 2k\pi )]} \ &= \e^{a\ln r - b\theta - 2bk\pi + \i(b\ln r + a\theta + 2ak\pi)} \ &= r^a \e^{-2bk\pi - b\theta} [\cos(b\ln r + a\theta + 2ak\pi) + \i \sin(b\ln r + a\theta + 2ak\pi)] \ \end{aligned} $$

太恶心了🤮，什么都有多解。不好玩。

认真计算弱酸 pH

Sun, 31 Aug 2025 00:00:00 GMT

很久以前就写好了，但是由于 Astro 不好配置 mhchem 一直没发，没想到更新到 Astro 5 然后突然就能用了🤯。

有了 $K_{a}$，$K_{w}$，以及两个守恒之后，可以解出所有东西。假设某一元弱酸 $\ce{HA}$，其电离常数为 $K_{a}$，水的电离常数为 $K_{w}$，总共有 $\pu{n mol}$，体积为 $\pu{V L}$。可以列出以下式子：

$$ \begin{cases} \ce{[H+]} \ce{[OH-]} = K_{w} \ \dfrac{\ce{[H+]} \ce{[A-]}}{\ce{[HA]}} = K_{a} \ \ce{[HA]} + \ce{[A-]} = \frac{n}{V} \ \ce{[H+]} = \ce{[OH-]} + \ce{[A-]} \end{cases} $$

总共有 4 个方程，同时也恰好有 4 个未知量，所以每个未知量都可解。

消元整理得到：

$$ \ce{[H+]}^{3} + K_{a} \ce{[H+]}^{2} - \left(K_{w} + \frac{K_{a} n}{V}\right)\ce{[H+]} - K_{a} K_{w} = 0 $$

简单的一元弱酸，$\ce{[H+]}$ 与 $V$ 的关系居然是一个三次方程，并且没法因式分解。对于 $n$ 元酸，则是 $n+2$ 次方程。

这个方程一共有三个实根，两负一正。求解三次方程可以用 NumPy 的 roots 函数，使用方法如 np.polynomial.Polynomial([1, 1, 4]).roots()。也可以用 SymPy，但是 SymPy 是直接套的三次方程求根公式，求数值的时候会有精度问题。lambdify 后可能出现 invalid value encountered in sqrt，一个粗暴的解决方法是让 lambdify 使用 mpmath 计算（传入参数 modules=["mpmath"]）。

最终图像（带的是醋酸 $K_a=1.8 \times 10^-5$，$K_w = 1 \times 10^{-14}$）：

参考代码：

import sympy as sp
import numpy as np
from mpmath import mp
import matplotlib.pyplot as plt

K_a, K_w, n, V = sp.symbols('K_a, K_w, n, V', positive=True, real=True)
H, OH, X, HX = sp.symbols('[H^{+}], [OH^{-}], [X^{-}], [HX]', positive=True, real=True)

root = sp.solve(H**3 + K_a * H**2 - (K_a * n / V + K_w) * H - K_a * K_w, H)

root_lambda = sp.lambdify(V, root[2].subs(((K_a, sp.Rational("1.8e-5")), (K_w, sp.Rational("1e-14")), (n, sp.Rational("1")))), modules=["mpmath"])
mp.dps=100

V_values = np.logspace(1, 8, 1000)
H_values = []

for i in V_values:
    res = root_lambda(i)
    H_values.append(res.real)

plt.plot(V_values, H_values, label='pH-V')
plt.xlabel("Volume (L)")
plt.ylabel("[H+] (mol)")
plt.yscale("log")
plt.xscale("log")
plt.grid(True, which="both", linestyle="--", linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.show()